COURBES GAUCHES
11. Pour faire des applications 'du theoreme general, nous chercherons des surfaces de la forme i en relation geometrique simple avec la courbe 2, de maniere a debarrasser l'expression du theoreme de tout terme analytique; les exemples sont d'ailleurs faciles a trouver.
Considerons, sur la courbe e(/*=o, y — a) les points oil la tangente fait un angle donne, a>, avec une droite fixe, l'axe des X, par exemple; ces points sont sur la surface
(12) A-— cos2gj(A'24-B2+C!)=:o.
Lorsque cosoo varie, les surfaces representees par cette equation appartiennent au type §, considere dans le theoreme general qui est des lors applicable; mais il y a lieu ici de pousser les calculs jusqu'au bout.
D'apres le n° 4, si Ton pose cosco=r u, la somme des arcs compris sur e entre les surfaces du systeme (12) qui correspondent aux valeurs u„ et u du parametre a pourvaleur
du(Ir),
2/- designant la somme des residus, par rapport aux zeros de t, de la fonction
x'l-.rt' a-+B2+C2 = ^i— aT=.^(A2+B^"C^)-
Soit>.0 la valeur de ~k qui correspond a un point a l'infini de e : nous supposerons que la courbe ne touehe pas le plan de l'infini en ce point.
Tout d'abord si le plan x — o passe par le point ~Ka, - reste fini
QUELQUES PROPRIETES DES ARCS DES GOURDES ALGEBRIQDES. 52t)
pour A = 'An, en vertu de l'hypothese precedent?; i! en est de meme
de sa derivee '■ — — et, par suite, de la fonction 0(A). Le residu
correspondant de cette fonction est done nul.
Si Ie plana; = o ne passe pas par le point A„, on a, en posant X — A0 = e, d'apres (9) et (9 bis),
Pour calculer le residu de ©(X), posons
A!H- B'+C2 . ' (x't — .rt'y- + ( )•' I — yt')'1 -h (z' t — zt' )-
A- {x't — xt'Y
En vertu des equations qui precedent et des equations qu'on en deduit par derivation, on peut ecrire
x' t — xt' r OU
^(A) = I 4- p.- -+- v-+ E^'cr,
p et <t ne devenant pas infinis pour z = o; p. et v sont des constantes.
Cette derniere formule montre que les p premieres derivees de '\> sont nulles pour £ = 0; il en est, par suite, de meme evidemment des p premieres derivees de la fonction
A2— m-(A' + B24-C-) 1 — m 2 ip
II en resulte irnmmediatement que le residu, pour A = A„, de la fonction
t- 1 — u-<ij
est nul, puisque, d'une part, ' — — est de I'ordre de et que,
d'autre part, il ne contient pas de terme en
(EUVHKS DE O. HUMBERT, T. I.
Ii7
53o OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
On peut done enoncer ce theoreme :
I. .1 une courbe algebrique douee de singularites quelconques, mais ne louchant pas le plan de I'in/ini (('), on meue Louies les tangentes qui font un angle donne avec un axe fixe el Von jail ensuite varier eel angle : la sornme algebrique des arcs parcourus par les points de contact des tangentes est a chaque instant egale a zero.
Ce theoreme est une extension a l'espace d'une propriete connue dans le plan.
On etab 1 irait de meme, sans difficulty, que :
II. Le mime theoreme subsiste pour une courbe ayant avec le plan de I'in/ini, en un seul point, un contact de premier ordre, lorsque Caxe jixe est perpendiculaire auv plans {par alleles enlre eux) qui touchent la courbe en ce point.
12. Les points de e dont le plan normal touche la sphere de rayon u et de centre fixe (o, o, o, i)
+ z- — it- 1- = o
sont sur la surface
J = (A.r -+- Bj +- Cz)-— u"C-{ A-+ B-+ C2)
qui est du type §. Pour calculer la somme des arcs compris sur z entre denx de ces surfaces, correspondant aux valeurs u0 ct u du rayon, nous calculerons encore directement les residus, par rapport aux zeros de t, de la fonction (5)
x't — xt' (Ax + Bj + Cs)(A;+B;+ C1)
ou A, B, C sont supposes remplaces par leurs valeurs proportion-
nelles x' l — xf, Au denominateur, e'est seulement la premiere
puissance de t qui est en facte ur : cette circonstance permet de calculer de suite le residu de par rapport a un zero quelconque, X„, de£,
meme si e touche le plan de l'infini au point X0.
Si X0 est un.zero d'ordre q de t, n'annulant pas (comme on peut
(') C'est-a-dire n'ayanl aucune langente dans le plan de l'infini.
QUELOUES PROI'ltlETES DES ARCS DES COUIIBES ALGEBRIQUES . 53 1
toujours I'admettre) x, y el s, dans le terme
x' I — xl' t '
la partie inlinie pour A = Xa est — qr„^ ' . , et lc residu de 0(a) esl
\ (\x + B/+Cz)(A:+ B2+C5) J
la valeur do ['expression entre crochets etant prise pour X = X0* Si maintenant on suppose que, pour X = X„, -+- y- -+- n'est pas mil, on voit que les termes de moindre degre en X — X0 sont, au numerateur de cette expression,
et au denominateur,
— x0{xl +yl -hzl)H'3;
par suite,
La somme des residus est ainsi egale a I'Zq, c'est-a-dire a deux fois l'ordre, N, de la courbe a, si celle-ci n'a pas de point sur le cercle isotrope. Alors la sornme des arcs considered, c'est-a-dire
J du (Sri
est ici egale a 2N(« — «„).
Ainsi :
III. A une courbe algebrique, d'o/dre N, ne rencontrant pas le cercle isolrope et Wailleurs quelconque, on mene Lous les plans normaux qui touchent une meme sphere, et Von fail ensuite varier le rayon de la sphere, son centre demeurant fixe : la somme algebrique des arcs decrits sur la courbe par les points d incidence des plans normaux esl egale ri 2N fois la variation du rayon de la sphere.
Si un zero simple, X0, de 1 (n'annulant pas simultanement x, y, z) est aussi un zero simple de x- -+- y~ -+- z2, on etablit sans difficulty que, pour X = X„, ®(X) restefini; le residu correspondant est done nul. Or, pour une courbe n'ayant a 1'infini que des points simples ou des points multiples a branches distinctes et ne louchant pas le plan de rinfini,
les zeros de / sont tous simples et reciproquement; dire que, en un de ces points, x2 <-f- y2 -+■ z2 s'annule comme/, e'est admettre que la sphere de rayon nul x2 y2 -+- z1 — o ne touche pas la courbe au point, considere. Par suite :
IV. A une courbe algebrique quelconque, d'ordre N, n'ayant sur le cercle isotrope que des points simples ou des points multiples a langentes d/stinctes et ne touchant en aucun de ces points le plan de Vinfini , on mine les plans normaux qui touche nt une sphere el Von fait varier le rayon de celle-ci, son centre demeurant fixe : la somme algebrique des arcs decrits sur la courbe par les points d 'incidence des plans normaux est egale A2(N-A) fois la variation du rayon de la sphere, ih elant le nombre des points d' intersection de la courbe et du plan de Vinfini situes sur le cercle isotrope.
II faut de plus, pour que la proposition soit applicable, que les spheres concentriques considerees ne touchent pas toutes la courbe en un ou plusieurs points fixes a l'i nfini.
13. Menons rnaintenant ceux des plans normaux a © qui touchent une sphere variable, de rayon fixe, dont le centre decrit une droite, Taxe OX, par exempLe : les points d'incidence de ces plans sont a ('intersection de e et de la surface
0 = [\(x— e/) + By + C-]2— R2*?(A!+ Bs + C2) = o,
v designant l'abscisse variable du centre de la sphere et R le rayon fixe. Pour evaluer la somme des arcs decrits sur s par les points d'incidence quand v varie, on peut partir des formules du n° 6, puisque v figure seulement dans la fonction que nous avons appelee F; on a ainsi a calculer les residus, par rapport aux zeros de t, de la fonction
n:'i\ nA! + B!+C!, , ..
6(1) = — 2R 1 (x't — xt1).
Au denominateur, / a disparu : les residus cherches sont done nuls, a moins que, pour un zero, A„, de t, § ne s'annule quel que soit v, de maniere que G(X) devienne infini. Or, en rempla^ant dans 0(X), A, B, C par leurs valeurs proportionnelles x't—xt,, on voit que, si pour X = X0, x2-+- y2 -h z* n'est pas nul, les termes de. moindre degre
QUELQUES PROPRIETES DES ARCS DES COUKBES ALGEBIUQUES. 533
en \ — sont au numerateur '>\{xl ':'(x- -+- y'2 -+■ -■-), et au denominateur i'-(x'2 -\- y~ + z1 ) : la fonction 0(A) reste done toujours finie pour les zeros de et tous les residus correspondants sont nuls. Done :
V. A une courbe algebrique ne renconlranl pas le cercle isolrope et d'ailleurs quelconque, on mene les plans norrnaux qui touchent une mime sphere el Von fait ensuite varier le centre de la sphere, le rayon demeurant constant : la somme algebrique des arcs decrits sur la courbe par les points d incidence des plans norrnaux est a chaque instant egale a zero.
De ineme on voit qne :
La proposition precedenle s' applique a une courbe n ay ant sur le cercle isolrope que des points simples ou des points multiples d tangentes distinctes en aucun desquels elle ne touche le plan de Vinfini.
14. D'une maniere analogue on etablit les propositions suivantes :
VI. A une courbe algebrique d\)rdre N ne renconlranl pas le cercle isotrope, on mene toules les spheres orthogonales de rayon donne qui coupent une sphere fixe a angle droit, et Von fail ensuite varier le rayon donne : la somme algebrique des arcs decrits sur la courbe par les points d'orthogonalite des spheres mobiles est egale a 4N fois la variation du rayon .
En particulier :
MI. On considere sur la courbe les points pour lesquels la portion de la tangente comprise enlre le point de contact el un plan fixe a une longueur donnee, que Von fait ensuite varier : la somme algebrique des arcs decrits par les points consideres est egale a 2N fois la variation de cetle longueur.
15. Dans les applications precedentes, la courbe gauche intervient seule, independamment des surfaces qui la determinent; voici un exemple oil ces surfaces jouent un role interessant.
Les points de la courbe ©(/— o, cp = o) oil les deux surfaces /= o, <p = o se coupent sous un angle donne co verifient l'equation
v/(/;:-' +/;2) («42 -t cp;s + cp;4)
qu'on prut ecrire
$ = (/'rCp.V ■+• fy<f'y + /i?r )"— COl!&>(A5 + B2+ C2) = O.
On a encore la, quand to varie, ties surfaces du type i. Done :
VIII. Sur la courbe, intersection totale ou complete, mais non multiple, de deux surfaces afge'briaues, on considere les points oil les deux surfaces se coupenl sous un angle donne, co, el Con fait ensuile varier cet angle ; la somme algebrique des arcs decrits sur la courbe par les points consideres est une fonction rationnelle de la cotangente de V angle variable.
C'est egalement une t'onction rationnelle des coefficients des deux surfaces, dans les conditions specifiers au n° 9.
La proposition precedente peul ne pas etre vraie pour une courbe rencontrant le cercle isotrope ou tangente au plan de l'infini, lorsq u c les conditions d'exception enoncees au n° 9 sont verifiees; la somme des arcs s'exprime alors en fonction rationnelle et logarithm ique de cotco.
II est aise de donner l'expression de la somme des arcs, dans le cas ou la courbe S n'a, a l'infini, que des points simples ou multiples a branches distinctes, non situes sur le cercle isotrope, et en aucun desquels elle ne touche le plan de l'infini. Cette somme, d'apres le theoreme general du n° 9, est egale a la somme des residus, par rapport aux zeros de t, de la fonction
T 1 //— 1 TT, T—i IT, Tl TTi 1 . F ~ COtWv/A2-f- B2 -+- C2
M*)= ?\I(x't--rt'y+{y't-Yt'y- + {z't-zt'y- iog^ v — ==■
l1' J F -+- coiw vA24- B2 + C4
en posant, pour simplifier, F =f'xy[r -+- / ,<p' -\-f". o'..
Par hypothese, t n'a que des zeros simples, soit X0 1'un d'eux. Si Ton pose X — X„ == £, on sait (n° 8) que le facteur entre crochets dans <<R(X)
ne contient pas de terme en -; le residu cherche, p0, est ainsi :
po — 77-5 s/ 0 ( xl + J I + zl ) Trr log
F — col w \/\-+ B2+CJ
V V ' 0 Ju " d\ b F + cot m V/A*H-BS+C« En developpant les calculs, on trouve sans difficult*!
COtO)
co„ etant I'angle sous lerjue I se coupent les deux surfaces au point /.„, ct m„ un coefficient dont la valeur esl
xn d I : F \
et dont il serait aise d'ecrire ['expression en fonction des coefficients qui figurent dans l'equation de la tangente (asymptote) a e en ce point. Ainsi, dans le cas examine :
La somrne des arcs consider es au theorerne VIII esl, a une constante pres, qui depend de i angle initial,
2 colco m i 5 : > COl/OJ — COL" ',)/
la somme s'elendanl aux points a Vinfini sur la courbe, co, designant r angle des deux surfaces f = o, cp = o en un de ces points, el mi elant un coefficient independant de w, dont la valeur a ele donnee plus haul.
16. Si Ton considere la courbe 3 comme I'intersection de deux cones, de sommets P et Q, on a, comme cas particulier du theorerne VIII, la proposition suivante :.
On mene, par chaque tangente d'une courbe gauche ©, les deux plans qui passent respectivement par deux points fixes P et Q, et Von considere les points de e oil ces deux plans font un angle donne a> : quand on fait varier co, les points eonsideres decrivent sur la courbe des arcs dont la somme algebrique esl une fonction rationnelle de colco.
Si la courbe touche le plan de l'infini, il faut, pour que le tbeoreme s'applique, qu'aucune des tangent.es situees dans ce plan ne touche le cercle isotrope ; si la courbe rencontre le cercle isotrope en des points a,, il faut qu'aucun des plans menes par P (ou Q) et par la tangente en ane touche le meme cercle.
Sans insister davantage sur des exemples qu'il serait aise de multiplier, nous passerons aux proprietes des arcs des courbes planes, en nous bornant aux applications qui sont speciales a ces courbes.
OKU V RES DE r.EORGES HUMBF.RT.
