COURBES PLANES
17. Le theoreme general du n° 9 peut etre mis, dans le cas des courbes planes, sous une forme plus geometrique. Kappelons d'abord une definition.
On nomme, dans le plan, courbes de direction, les courbes dont l'equation, en coordonnees tangentielles rectangulaires, est de la forme
(D) (^-H^)*»a,:ii^ F«(|,n)^>
F et $ designant deux polynomes entiers, et l'equation carlesienne de la droite enveloppee etant
Le premier membre de l'equation (D) peut d'ailleurs se decomposer en facteurs, dontchacun, egale a zero, represenle unecourbe de direction: dans tout ce qui suit, nous appellerons courbe de direction du type (D) la courbe ou l'ensemble des courbes representees par une equation de la forme (D). C'est ainsi, par exemple, qu'une courbe de direction de classe impaire ne constituera pas a elle seule une courbe du type (D). Cela pose, observonsque les points de contact des tangentes communes a la courbe (D) et a une courbe quelconque, f(x,y, t) = o, soul a 1'intersection de cellc-ci et de la courbe
qui appartient au type §.
Voici done la conclusion :
Theoreme general. — La somme algebrique des arcs decrits sur une courbe plane, w, par les points de contact des tangentes communes a cette courbe et a une courbe de direction de classe donnee, du type (D), qui varie d'une maniere quelconque, est une fonction rationnelle des coefficients de la courbe fixe et de la courbe variable.
Les cas d'exception, d'apres le n°9, ne peuvent etre que les suivants :
i° La courbe 3 et toutes les courbes de direction variables toucbent la droite de l'infini ;
2° Lacourbe 8 passe par les points cycliques, et les courbes variables admettent pour foyer un ties foyers singuliers dee(').
La somme algebrique des arcs se calculera par la formule gonerale du n° 9; si Ton rend homogene l'equation (D) des courbes de direction, en l'ecrivant
H'+rn^a, 7), £) — F*(£,y], K) = o,
cette somme est egale a la somme des residus, par rapport aux zeros de (, de la fonction
■q (?.) =- ^ ~ ■XL' r+iy'i^Jn* {QJ(f'sJ'yJ't)- \/f'£ +f?®U\rJ'yJ'c)
oil le Iogarithme est pris entre les valeurs initiates et finales des coefficients de F et de 4>, et oil x, y, t sont les coordonnees d'un point de 3, supposees exprimees en fonction d'un parametre A.
18. On peut donner une regie geometrique precise pour le signe a affecter aux arcs du theoreme general precedent.
Rappelons d'abord que, sur une courbe de direction, la tangente a un sens determine : soit en effet la courbe
(P+n^ft'U, n, £)— F2(^ n, 0 = o, .
la tangente
EX + -oY + ? = o fait avec la droite OY, dirigee de 0 vers Y, un angle 0, tel quo
sin 6 = — =±: — .
Choisissons le signe -+- dans le second membre; on aura
cos 9 = colS sin 6 = — - sin 9 = —
Nous dirons que le sens de la tangente est cclui du rayon qui va de 1'origine 0 au point de coordonnees X = sin 0, Y = cos 9.
Cela pose, menons les tangentes communes a la courbe e et a deux
(') Les foyers singuliers d'une courbe passant par les points cycliques 1 et J sont les points d'intersection d'une tangente en I a la courbe avec une tangente en J.
OBUVRES DE (!. HUMBERT. I. [.
courbes de direction voisines (D0) et(D); soient m0 et m deux points tie contact voisins sur e, dont les coordonnees sont X„, Y0 (ou en coordonnees bomogenes x0, y{), t0) et X„ -h d\t), Y„ + c/Y„.
D'apres ce qui a ete dit au n° 10, on a, en grandeur et en signe,
arc m0 m = ^ (/^, /;,,, /',,).
La tangente a £ au point m0 est, par hypothese, une tangente de la courbe (D„), et son sens, par rapport a cette derniere, est determine : si 0o est son angle avec la semi-droite OY, on a
. a ^( j fi, Q f r,
La droite qui va du point m() au point m fait d'ailleurs, avec la semidroite OY, un angle 6'n, tel que
As etant le module de Tare mHm. On a ainsi
a re rnn rn = As — — ^ • sin9„
Les quantites sin0'o ct sinOn sont egales si la droite qui va de m0 vers m a meme direction que la tangente a la courbe de direction (D0) qui touche 2 au point m0 \ elles sont egales et de signe contraire si ces directions sont opposees, et 1'arc m()m a le signe -+- ou le signe — suivant l'hypothese.
Done enfin :
« Dans la somme algebrique des arcs cornpris sur 8 entre les points de contact des tangentes qui touchent respectivement deux courbes dc direction voisines (D„) et (D), un arc m0/rccompris entre le point de contact d'une tangente T0, a la courbe (D„), et le point de contact voisin d'une tangente a (D), sera pris positivement si le sens de Tare mnm (en allant de m0 vers m) est le meme que celui de la tangente T0, considered comme appartenant a la courbe de direction (D0). II sera pris negativement dans le cas contraire.
QUELQUES PROPRIETIES DES ARCS DES COURBES ALGEBR IQUES. 53o,
19. La plus simple des courbes de direction du type (D) est le cercle; done :
IX. Les 2N points de contact des tangentes communes a une courbe algebrique de classe N et a un cercle deer went sur la courbe, lorsque le cercle varie, 2N arcsdont la sornme algebrique est une fonction rationnelle des coefficients de la courbe et du cercle.
II faut toutefois que les cercles variables n'aient pas tous pour centre un foyer singulier de la courbe fixe.
La somme des arcs consideres s'evalue simplement si la courbe [\xq, f (x, y, t) = o, ou ©, n'a a Tinfini que des points simples ou des points multiples a tangentes distinctes.
Soient :
a, (3 les coordonnees du centre du cercle; R son rayon;
a', (V, R' les valeurs initiales de ces parame'tres;
la somme cherchee est egale (nos 9 et 17) a la somme des residus, par rapport aux zeros de t, de la fonction
^x't-xt'Y^iv't-yt'y «/:,.+p/v+/;-Rv//^+77
le Iogarithme etant pris entre les systemes de valeurs a, [3, Ret a', [3', IV.
Admettons d'abord que la courbe 3 ne passe pas par les points cycliques du plan; soit A„ un zero simple de t : pour des valeurs de A voisines de A„ la fonction
jiS/(a:'t — xt')>+(y't-yt'y
est de la forme (n° 8)
a, I), ... etant des constantes. Le residu cherche est done egal au produitdu facteur a par la derivee du terme logarithmique, prise pour A=A0. Posons, pour abreger,
G =fx, H s= /',., K=fn L = v//£+/?
54o OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
et designons par (*', . .., L' Ies derivees de ces fonctions pour A — A0. Le residu est
«(LG' — L'G) + (3(LH'— L'H) ■+■ LK - L'K
(aC -f- j3 H + K )2— R*(G' + H-)
Dans le numerateur de cette expression, les coefficients de a et de [3 sont nuls. On a vu en effet au n° 11 que la dcrivee par rapport a A de la fonction
est nulle pour A = A„. Or ici nous avons
et, comme ~ n'est pas nul pour X " = A0, on a, pour cette valeur,
LH ' — L'H = o.
Le coefficient de (3 est done nul, et il en est de meme de celui de a; si maintenant on observe que la quantite
VG^+T?
n'est autre chose que la distance du point a, ft a la tangenle menee a £ au point A0, e'est-a-dire a l'asymptote, on voit que le residu est de la forme
R0 etant la distance du point a, (3 a l'asymptote, et ///„ une quantite qui ne depend que des elements de la courbc £ au point a I'infini considere.
Par suite la somme des arcs a evaluer est de la forme
la somme s'etendant aux points a I'infini de la courbe £, m, etant un coefficient special a chacun de ces points etR, la distance du centre (a, [3)
QUELQUES PROPRIETIES DES ARCS DES COURRES ALGF.BRIQUES. 54 I
du cercle mobile a I'asymptote correspondante. De plus, on devra retrancher de cette somme une somme analogue, oil a, (3, R sont remplaces par leurs valeurs initiates a', (3\ R'.
