On peut calculer m, directement
En effet, au voisinage d'un point ordinaire a 1'infini, pour des valeurs tres grandes de X, l'equation de la courbe © peut s'ecrire
g, h, ... etant des constantes. La tangente au point (X, Y) est, en designant par X', Y' les coordonnees courantes,
Y'=gX'+h -+- — +.
Supposons que le cercle, de centre a, (J et de rayon R, tende a devenir tangent a I'asymptote
Y'=gX'+/t;
un des points de contact (X, Y) des tangentes communes au cercle et a © tendra vers 1'infini sur celle-ci, et Ton aura
'on
les termes negliges dans le second membre ne devenant pas inlinis avec X. Tar suite, dans ('expression de la somme des arcs decrits sur z par les points de contact des tangentes qui touchent le cercle variable, le terme infini sera
m' i — ; — iv
D'un autre cote, l'arc limite sur 2 au point X, Y a pour valeur principale, quand ce point s'eloigne a 1'infini,
les termes negliges restant finis pour X infmi. On a done
gv/7T^x = xv/rr^;
d'ou
La quanlite /• ainsi introduite est un element geometrique do la courbe £, susceptible d'une definition simple. On voit aisemenl que k est la liniite du produit op, oil o designe la distance d'un point de la conrbe, qui s'eloigne a l'rafini, a l'asymptote correspondante, et p la distance de ce point a un point fixe (quelconque d'ailleurs) du plan. Cette definition est independante du cboix des axes de coordonnees.
Done :
X. Soil une courbe de classe N, ne touchant pas la droite de Vinfini et n ayanta V in fini que des points simples ou des points multiples a tangentes distinctes : leszN points de contact des tangentes communes a cette courbe el a un ecrele variable decrivent sur la courbe 2X arcs, dont la somme algebrique a pour expression
i4^\R*R? R"-R'tV*
La somme s'etend a toutes les asymptotes de la courbe ; II et IV designenl les rayons du cercle variable dans ses positions finale el initiale ; \\, ci R'£. sont les distances a une meme asymptote du centre du cercle final et du centre <lu cercle initial; k, est V element geometrique de fini plus hunt qui correspond a cette asymptote.
Si la courbe passe par les points cycliques du plan, le theoreme subsiste, car il conduit a une forinule parfaitement determinee : pour une asymptote isotrope, U, et IV, deviennent infinis, tandis que /•, garde une valeur finie; le terme correspondant a une branche cyclique est done nul. En particulier :
La somme algebrique des arcs consideres au theoreme X est nulle pour une courbe qui ne coupe la droite de Vinfini qu'au.r points cvcliques.
11 taut toutefois, independamment des conditions restrictives du
QUELQUES PROPRIETES DES ARCS DES COL'RBES ALGEBRTQtJES. 543
theorome X, que le centre du cercle ne soit pas un foyer singulier de la courbe.
21. Remarque. — Pour deux courbes planes ayant une asymptote commune, les quantiles k correspondant a cette asymptote sont egales Iorsque les deux courbes sont osculatrices entre elles a l'infitii. D'ailleurs, pour une asymptote d'inflexion, k; est nul. Done :
La somme algebrique des arcs compris sur une courbe. plane entre les points de contact des tangentes qui touchenl deux cercles ne change pas si Von substitue a la courbe proposee une quelconque des courbes de meme ordre qui lui sont osculatrices en tous ses points d Vinjini.
La somme considere'e est nulle pour une courbe dont toules les asymptotes sont inflexionnelles el distinctes.
22. On peut, dans certains cas, simplifier notablement Tenonce des theoremes IX et X.
Supposons en effet que le cercle initial soit de rayon nul, et que les points de contact des tangentes menees de son centre a la courbe s soient tous reels; soit m un de ces points de contact. Augmentons maintenant \e rayon du cercle, le centre demeurant fixe : il est clair que toutes les tan°entes communes a © et au cercle seront reelles si le rayon est assez petit; deux points de contact de ces tangentes et de S, n, et n.2, seront voisins de m et situes de part et d'autre de ce point. 11 suffit d'appliquer la regie du n° 18 pour reconnaitre que, dans la somme des arcs compris. sur © entre les points de contact des tangentes qui touchent le cercle initial et le cercle final, les deux arcs mn{ et mn., sont toujours pris avec le meme signe et peuvent, des lors, et re remplaces par l'arc n, n2.
Par suite :
XI. Soit une serie de cercles concentriques, de ray on croissant de o a R„, et tels que toutes les tangentes communes a I'un quelconque d' entre eux el a une courbe algebrique fixe © , de classe N, soient reelles : les 2N points de contact des tangentes communes a © et a un de ces cercles, de rayon \\, peuvent se grouper deux a deux de maniere d determiner, sur la courbe £, N arcs dont la somme algebrique est rationnelle par rapport aux coefficients de la courbe et du cercle.
344 OEUVItES DE GEORGES HUMBERT.
Cette somme a pour expression
/■, et H, ayant la meme signification que dans 1'enonce du theoremeX(').
Applications particulieres.
23. Dans le cas des courbes unicursales, l'application de la theorie generate peut clre simplifiee.
Pour une courbe unicursale s, d'ordre n, les coordonnees d'un point sont proportionnelles a quatre polynomes d'ordre n, fonctions d'une variable X, et la differentielle de l'arc est de la forme
P et Q etant des polynomes en X, dont le premier est d'ordre !\{n — i). Ce polynome peut admettre des racines multiples; nous le metlrons sous la forme
R et V etant des polynomes, dont le second n'a pas de racines multiples. Soit ih le degre de V(X); si Ton designc par ^(X) et F(X) deux polynomes en X, le degre du second surpassant de h unites celui du
(') J'ai demontre, au I., VII' Cahier du Journal de I'Ecole Polytechnique, quo cetle somme est aussi egale a la somme algebrique des longueurs des tangentes communes au cercle et a la courbe, ces tangentes 6tant limilees a leurs points de contact.
Plus gcneralement, il serait aise d'etablir a priori que :
Si Von mene let tangentes communes a une courbe algebrique plane et a un cercle et si Von fait ensuite varier ce cercle, la somme algebrique des arcs decrits sur la courbe par les points de contact est egale a la variation de la somme algebrique des longueurs des tangentes communes.
Je n'avais etabli cette proposition que dans le cas ou les cercles variables sont concentriques.
On pourrait voir egalement que le mcme theoreme s'applique si Ton substitue au systeme de cercles un sysleme de courbes de direction n'ayant, comme asymptotes a distance finie, que des asymptotes isotropes; par exemple un systeme des courbes que Laguerre nomme hypercycles. 11 faut dans ce dernier cas que © ne touche pas la droite de l'infini.
premier, les points de la courbe 3, dont les arguments A verifient l'equation
V(Xj:$«(A)-FJ(X) = o,
decrivent sur 3, quand les coefficients des polynomes <I> et F varient d'une maniere quelconque, des arcs dont la somme algebrique (nos 4, 9) est egale a la somme des residus, par rapport aux zeros de t(~h), de la fonction
x log
F(D — o>(a) Jv
Cette somme est en general rationnelle, et les cas d'exception ne pourront se produire que si, pour un point de 3 situe sur le cercle isotrope ou pour un point de contact de 3 et du plan de l'infini, la
function -nr- a une valeur tinie, non nulle.
Voici Venonce geometrique qu'on pent donner a cette proposition :
« Sur une courbe unicursale, d'ordre n, les points ou la tangente est isotrope sont doftnes par une equation d'ordre 4(" — i); ceux de ces points qui correspondent a des racines d'ordre impair de l'equation seront dits points critiques de I'arc de la courbe.
XII. Paries ih. points critiques de Vote iV une courbe unicursale 3, on mene les surfaces S, de degre donne ik, qui louchent la courbe (avec un contact d'ordre impair} enchacun desautres points ou elle la rencontrent : deux surf aces quelconques d^ordre ilc, i{ et i2, respeclivement inscrites a deux surfaces 2, el IL, du systeme Z, inlerceptent sur la courbe 3 des arcs dont la somme algebrique est rationnelle.
Par surfaces d'ordre ik inscrites a £, on entend les surfaces ayant une equation de la forme
ou F est un polynome en x, y, z, t, d'ordre /.'.
Le theoreme s'applique naturellement a deux surfaces § inscrites a une meme surface 2.
CEUVRES DC a. HUMBERT, T. I.
24. Cubique gauche generate. — II y a, sur une cubique gauche generale, e, huit points distincts oil la tangente est isotrope. Soit 2 = o l'equation d'un cone du quatrieme ordre ayant son sommet en un point quelconque de ©, et passant par Ies huits points precedents : on sait qu'a un cone d'ordre 4 on peut inscrire 63 systemes de cones du second ordre, ayant meme sommet que le propose, et touchant celui-ci suivant quatre generatrices. Si #0 — o et i = o sont les equations de deux cones inscrits du meme systeme, on a 1'identite
F = o etant l'equation d'un cone du second ordre, de meme sommet. Ces propositions resultent de la theorie generale des courbes planes d'ordre 4-
On peut d'ailleurs mettre Fidentite precedente sous la forme
2 — (F + u$0y- = i<0(j -2uF - u*$0),
u etant un parametre arbitraire. D'apres les definitions du numero precedent, les surfaces — iuY — u2§Q) = o sont inscrites a 2, et, comme elles comprennent une surface fixe, §u, on n'a a considerer, pour appliquer le theoreme XII, que les arcs decrits sur e par les points d'intersection de cette courbe avec les c6nes
§ — 2«F — Ui§„— O,
qui forment un des 63 systemes de cones quadiiques inscrits a 2. Par suite :
Etant donnee une cubique gauche, on considere un quelconque des cones du quatrieme ordre, S, qui ont leur sommet en un point de la cubique et qui passent par les huit points de cette courbe oil la tangente est isotrope. Le cone 2 admet soixante-trois systemes de cones du second ordre, de meme sommet, qui lui sont inscrits, cest-a-dire qui le touchent suivant quatre generatrices : deux cones inscrits d'un meme systeme interceptent sur la cubique gauche quatre arcs dont la somme algebrique est rationnelle.
Ce theoreme permet de trouver sur la cubique quatre arcs de somme rationnelle, quand on se donne un de ces arcs et l'origine de chacun des trois autres; on retrouve d'ailleurs les memes arcs quel que soit le point de la cubique que Ton prenne pour sommet des cdnes.
L'arc dependant d'une integrale hyperelliptique de genre 3, on ne peut trouver sur une cubique moins de quatre arcs mobiles ayant une somme rationnelle.
La reciproque du theoreme precedent est vraie et s'etablit aisement : si quatre arcs mobiles d'une cubique gauche ontune somme algebrique exprimable rationnellement, on les obtient par la construction indiquec (').
25. Cubique gauche parabolic/ ue. - - Une cubique qui touche le plan de l'infini est dite parabolique : en ce cas, sur les huit points oil la tangente est isotrope, deux sont confondus avec le point de contact du plan de l'infini, et l'arc n'a que six points critiques. On etablit, par la methode du n° 24, la proposition suivante :
Elant donnee une cubique gauche parabolique, on consider e un quelconque des cones du second ordre qui passent par les six points de la courbe (a distance finie) oil la tangente est isotrope : deux plans tangents arbitrages de ce cone interceptent sur la cubique trois arcs dont la somme s' 'ex prime par les fonctionslogarithmiques et rationnelles.
26. Cubique gauche circulaire. — C'est une cubique qui rencontre en deux points le cercle isotrope. Chacun de ces points compte pour deux dans le nombre des huit points oil la tangente est isotrope, Tare n'a que quatre points critiques :
Elant donnee une cubique gauche circulaire , on considere un quelconque des cones du second ordre qui ont leur sommet en un point de la cubique el qui passent par les quatre points de la courbe (a distance /inie) oil la tangente est isotrope : deux plans tangents arbitraircs de ce cone interceptent sur la cubique deux arcs dont la somme s^exprime par les fonctions logarilhmiques el algebriques.
( 1 ) Une proposition analogue existe pour une courbe unicursale d'ordre quelconque : si l'arc de cette courbe a ih points critiques, on pent, d'apres la theorie generale des integrales hyperelliptiques, determiner algebriquement sur cette courbe h arcs dont la somme s'exprime par les fonctions rationnelles et logaritlimiques. Un de ces arcs et 1'origine de chacun des // — i autres peuvent etre choisis arbitrairement. Mais le theoreme ne parait pas susceptible d'une interpretation geometrique simple. Dans le cas d'une courbe ne rencontrant pas le cercle isotrope et ne touchant pas le plan de l'infini, la somme des h arcs mobiles est toujours rationnelle.
L'arc lui-meme s'exprime d'ailleurs par les integrates elliptiques do premiere, deuxieme et troisieme especes.
On a un theoreme identique pour une cubique osculatrice au plan de linfini .
Si cn un point d'une cubique la tangente et le plan osculateur sont isotropes, ce point compte [tour deux dans le nombre des points ou la tangente est isotrope : le theoreme precedent subsisle done pour une cubique reclle douee de deux de ces points remarquables, mais alors la somme des deux arcs interceptes par deux plans tangents du cone est rationnelle ( 1 ).
27. Cubiques planes. — Voici deux propositions geometriques sur les arcs de ces courbes; les demonstrations dccoulent des principes poses plus haul :
Elant donne'e une cubique plane generate, on considere une quelconque des courbes du quulrieme ordre qui passent par les douze points de contact des langenles menees a la courbe par les points cycliques du plan : deux coniqucs arbitraires dim mime systeme, inset ites a celte quur tique, intercept ent sur la proposee six arcs, dont la somme algebrique s'expri/ne en [auction rationnelle des coef jicients de la cubique el des deux coniqucs.
. I une cubique circulaire unicursale on pent mener par les points cycliques quatre tangentcs ayant leurs points de contact a distance jinie, et itexiste deux coniqucs passant par ces quatre points de contact et touchanl la cubique en un nouveau point : deux langenles arbitraires d une de ces coniqucs interceplent sur la cubique trois arcs dont la somme s'exprime par les fo actions algebriques et logarithmiques.
28. Courbes du qualrieme ordre. — Des propositions analogues s'appliquent a certaines courbes du quatrieme ordre :
Sur une biquadratique spherique generale il exis/c, d distance Jinie, bait points ou la tangente est isotrope, et par lesqucls passe une infinite simple de cones du second ordre : deux plans tangents quelconques de I'un
I 1 ) II est clair que les propositions des n"s 24, 2o, 26 donnent sur une cubique gauche, des interpretations du tlicoreme d'addition des integrates hyperellipliques de premiere espi:ce, dc genres 3, i et i . Dans le cas des integrates de genre ■>. (n° 25), on retrouve ainsi l'inlerpretation donnee par Laguerre (Bulletin de la Society mailiematique, t. I).
QUELQUES PROPRIETIES DES ARCS DES COTJRBES ALGEBRIQUES. 5^9
de ces cones interceptent sur la biquadratique quatre arcs dont la somme sexprime par les fo actions logarithmiques el algebriques.
Si la biquadratique a un point double A, le theoreme s applique aux deux arcs interceptes par deux plans tangents de I'un quelconque des cones du second ordre qui onl leur somme. L en A et qui passent par les quatre points de la courbe, a distance finie, oil la tangente est isolrope.
On enoncerait sans diffieulte des proprietes de meme nature pour les combes planes bicirculaires du quatrieme ordre, specialement pour celles qui out deux axes de symetrie.
La lemniscate est particulierement interessante :
Deux coniques quelconques ayant pour foyer le centre d'une lemniscate interceptent sur cetle courbe hint arcs dont la somme algebrique est nulle.
Deux tangentes quelconques d'un mime cercle, doublement tangent a une lemniscate, interceptent sur cetle courbe quatre arcs dont la somme algebrique est nulle.
Si deux arcs de lemniscate sonl egaux, les quatre cercles qui passent par le centre et qui touclient respectivement la courbe aux extremites des deux arcs sont tangents a un meme cercle; et reciproquement.
Cetle derniere proposition peut etre mise sous une forme plus elegante et qui semble egalement nouvelle :
Deux cerdes passant par le centre d' une lemniscate interceptent sur cette courbe deux arcs egaux, si leurs centres sonl sur une meme conique ayant pour foyers les foyers si/iguliers de la lemniscate.
On a ainsi une construction geometrique simple qui permetde porter sur la lemniscate, a partir d'un point, un arc egal a un arc donne de la courbe.
29. Coniques. — L'arc d'une conique generale a (n° 2?) quatre points critiques, qui sont les points de contact des tangentes isotropes ; on voit de suite, cornine au n" 26, que :
Eianl donnee une conique, deux tangentes quelconques a" une secondc conique, qui passe par les points de contact des tangentes isotropes menees it la premiere, interceptent sur celles-ci deux arcs dont la difference s'exprime rationnellement.
55o QEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
Si Ton transforme ce resultat par polaires reciproques en prenant pour directrice la premiere conique, on retrouve le theoreme si connu
de Graves :
Les polaires, par rapport a une conique, de deux points d'une seconde conique homofocale a la premiere interceptent sur celle-ci deux arcs, donl la difference s^exprime ralionnellement.
En observant que les quatre tangentes menees a une conique par deux points d'une meme conique homofocale touchent un cercle, on voit que le theoreme de Graves est l'application aux courbes du second ordre de la proposition generale XI (n° 22), et, calculant pour une conique les coefficients que nous avons appeles kn on arrive a ce resultat :
Etant donnee la conique ^- ■+- ~ —1 = 0, rapporlee a son centre et a
ses axes, on mine les tangentes communes a cette courbe et a un cercle, de centre a, (3 et de rayon R, qui lui est exterieur : les quatre points de contact sur la conique peuvent se grouper deux a deux, de maniere a former deux arcs, dont la difference a pour expression
8AB(A - B)Rg(3
[(A — B)RS — A(3- -i- Ba2]"--i-4ABa!(3*'
En passant de l'ellipse a la parabole par le procede classique, on deduit de la que :
Les quatre points de contact des tangentes communes a une parabole, de parame'tre p, et a un cercle exterieur, de rayon R. peuvent se grouper deux a deux sur la parabole, de maniere a former deux arcs, dont /a
difference est egale a — — > [3 de'signant la distance du centre du cercle a
I' axe de la parabole.
Appliquant a l'ellipse le theoreme III (n° 12) et raisonnant comme au n° 22, on etablit cette proposition assez simple :
Les huit pieds des normales qiCon pent mener a une ellipse, langentiellement a un cercle interieur a la developpee de la courbe, se groupent deux a deux de maniere a determiner sur I ellipse quatre arcs, dont la somme algebrique est egale a quatre fois le rayon du cercle.
Co theoreme, dans le cas particulier ou le cercle est concentrique a l'ellipse, donne la propriete connue sous le nom de theoreme de Fagnano.
Nous n'insisterons pas davantage sur les applications nombreuses qu1on pourrait faire aux coniques de nos propositions generates, et notamment des theoremes des n"s 17 et 23; ces applications n'offrent aucune difficulte.
SUR
