LES ARCS DE COURRES PLANES

{Nouvelles A/males, i' seric, t. VII, 1 8H8. )

Le tbeoreme suivant, dont la demonstration esi tout ii fait elementai re, constitue I'extension ii une courbe" algebrique quelconque de la celebre proposition de Graves et Cbasles sur les arcs dc conique.

Nous nous appuierons sur une proposition aujuurd'hui bien conniic et que Laguerre a enonce le premier : La sommedes angles que font avec un axe fixe les rayons qui joignent le centre d' un cercle aux points d^ intersection du cercle et d' une courbe algebrique donnee reste constante si le rayon du cercle carle, son centre demeuranl fixe.

En transformant cette propriety par polaires reciproques, on voit que : La somme des angles que font avec un axe fixe les tangentes communes a une courbe algebrique et a un cercle reste constante si le rayon du cercle varie, son centre demeuranl fixe.

Cela pose, soil C une courbe algebrique queleonque; menons les tangentes communes a cette courbe et a deux cercles voisins dc memc centre 0, de rayons R el R + d\\ ; soicnt AT et A T deux de ces tangentes, infiniment voisines. On a evidemment

XT'- VT = ai( AA' -h R TOT'.

o:r vims DU a, HUMBERT, r. i.

OELVRES I)E GEOKGES HUMBERT.

Or 1'angle TOT est egal a celui ties tangentes A T' et AT : soil dQ cet angle : il vienl, en designant par / la longueur de la tangente commune AT, par / -+- dt eel le de AT, par ds l'arc AA',

ds = dt — R dB.

Si Ton fait la somme de toutes les equations analogues, relatives a tous les points de contact de la courbe £ avec les tangentes communes a cette courbe et an cercle sv, il vient, puisque I d() = o d'apres le theoreme rappele plus haut,

1 ds = Idt.

En d'autres terines :

Si Von mene toutes les tangentes communes a line courbe algebrique et a un cercie, et si Con fait ensuite varier le rayon du cercle, son centre restant fixe, les points de contact sur la courbe decrivent des arcs dont la somme algebrique est egale a la variation de la somme algebrique des longueurs des tangentes communes.

Si, en particulier, Ton suppose que I'un des cercles consideres a son rayon nul, on voit sans difliculte que :

Les 2v points de contact d\ine courbe de classc v avec les tangentes communes a cette courbe et a un cercle peuvent ctre groupes deux a deux, de maniere a determiner sur la courbe v arcs dont la somme algebrique est egale d la somme algebrique des longueurs des tangentes communes.

C'est cette proposition qui, dans le cas des coniques. donne le theoreme si connu sur les arcs d'ellipse ou d'hyperbole.

Considerons en effet une ellipse, menons les quatre tangentes communes a cette courbe et a un cercle.