V. — Aires ellipsoidales

20. Divers auteurs ont essaye d'etendre aux aires, sur Tellipsoide, les proprietes classiques si simples et si elegantes des arcs d'ellipse, mais aucun resultat net n'avait ete obtenu.

Or, tous les geometres connaissent, pour I'ellipse, le celebre Theoreme de Graves : e'est ce theoreme que j'ai reussi a efendre, presque mot pour mot, aux aires ellipsoidales, et cela sous la forme suivante :

Sur un ellipsoide E, , exterieur et homofocal a un ellipsoide E, on prend une conlque quelconque C, dont le plan passe par le centre, el Von circonscrit a cette conique et dE une developpable; soient T et T' les deux boucles de la courbe de contact de la developpable et de I ellipsoide interieur : iexces de Vaire de la developpable, limitee a la. conique C <r une part et aux boucles T et T' d autre part , sur V aire ellipsoidale comprise sur E entre res deux memes boucles, est constant.

L'exces constant s'exprime simplement par les fonctions elliptiques; je donne son expression, etjefais connaitre encore, sur I'ellipsoide, de nouvelles aires reductibles a ces memes fonctions. Par exemple, si Ton appelle zone ellipsoidale la zone limitee sur un ellipsoide par deux coniques, le long de chacune desquelles on peut circonscrire a la surface un cone de revolution, l'aire d'une telle zone s'exprime elliptiquement ; de plus :

Les aires de deux zones ellipsoidales ont une somme ou une difference exprimable algebriquement lorsque les qualre plans qui limitent ces zones touchent un ellipsoide homolhetique a i ellipsoide propose.

Dans le cas ou I'ellipsoide devient un paraboloide elliplique, les zones ont une aire exprimable rationnellement (31, 32) de la maniere la plus simple.

NOTICE SUR LES TRAVAUX SCIENTIF1QUES DE GEORGES HUMBERT. a3