VI. Arcs des courbes algebriques
21. L'arc d'une courbe algebrique quelconque n'est pas une integrate abelienne appartenant a cetie courbe, de sorte que la somme algebrique des arcs intercepts sur elle par une serie de courbes mobiles ne pourra s'exprimer a l'aide des formules du theoreme d'Abel ; mais il en sera autrement si, en tenant compte de I equation de la courbe mobile, on peut faire disparaitre le radical dans l'element d'arc de la courbe fixe. Jc montre alors (33) que les logarithmes, qui figurent en general dans les formules du theoreme d'Abel, disparaissent, et je precise les quelques cas d'exception.
22. De la se deduisent de tres nombreuses consequences, dont on va citer les plus simples :
A une courbe algebrique C, d'ordre n, ne touchant pas le plan de Vinfini, on mene les tangentes qui font an angle donne avec un axe fixe et I' on fait ensuite varier eel angle : la somme algebrique des arcs parcourus sur C par les points de contact est a chaque instant egale a zero.
A une courbe algebrique ne touchant pas le plan de Vinfini, en un point du cercle isotrope, on mene les plans normaux qui louchent une sphere, et I'on fait varier le centre de cette sphere, son rayon demeurant fixe : la somme algebrique des arcs parcourus sur la courbe par les points d'mcidence des plans normaux est a chaque instant egale a zero.
Les points de contact d^une courbe plane C, de classe v, avec les 2V tangentes communes d cette courbe el a un cercle, se groupent deux a deux de maniere a determiner, sur C, V arcs, dont la somme algebrique est egale a celle des longueurs des tangentes communes (34, 36).
Les tangentes communes sont supposees limitees au cercle d'une part et a la courbe d'autre part.
Le Memoire 33 contient de nombreuses proprietes des arcs des cubiques gauches ou planes, des biquadratiques spheriques, de la lemniscate de Bernoulli ; par exemple :
Deux cercles passant par le centre, d'une lemniscate interceptenl sur cette courbe deux arcs egaux, si leurs centres sont sur une meme conique, ayant pour foyers les foyers de la lemniscate.
OEUVRES ni-: r.KOR(;Es uc mbkrt.
TR01SIEME SECTION.
SURFACES ALGEBRIQUES.
