I. — Surfaces cyclides

23. Les cyclides sont les surfaces du quatrieme ordre qui ont pour ligne double le cercle isotrope a l'infini; elles sont 1'objet, dans le Memoire 37, d'une etude detaillee, purement geometrujue, qui complete les beaux resultats donnes anterieurement par MM. Moutard, Darboux et Laguerre.

L'idee principale de ce Travail est l'introduction des groupes de spheres par rapport a une cyclide; on sait qu'une cyclide admet une serie simplement infinie de quadriques inscrites, V, et que, par la biquadratique commune a la cyclide et a une sphere quelconque, passent quatre cones, dont chacun est circonscrit a une surface V. Les spheres auxquelles repondainsi une quadrique V, donnee, sont dites appartenir au groupe V de spheres, et cette notion entraine de nombreuses proprietes ('). Une meme sphere appartient a quatre groupes.

Toute tangonte a une quadrique V coupe la cyclide, ainsi que l'a montre M. Darboux, en quatre points dont la determination depend de deux equations du second degre; les quatre points se divisent done en deux couples et je dis que les deux points d'un couple sont conjugues dans le sysieme V ; enfin, un cercle bitangent a la cyclide appartient au groupe V si ses deux points de contact sont conjugues dans le systeme V.

(') Depuis la publication du Memoire 37. qui remonte ;'i iKR5, j'ai reconnu, au cours < le mes etudes sur la surface (Je Kummer, qu'aux spheres d un meme groupe par rapporl a une cyclide, la transformation de Lie fait conespondre des droiles qui appartieunenl a un des complexes du second ordre. en nombre simplement infini, dont la surface de Kummer est la surface de singularity. 11 n'est done pas etonnant que la notion de spheres d un meme groupe m'ait donne d'iuteressants resultats geometriques; ceux-ci d'ailleurs, pour la plupart, n'auraient pu se deduire des proprietos connues de la surface de Kummer et des complexes du second ordre correspondanls.