NOTICE SUR LES TRA.VAUX SCIENTIFIQUES DE GEORGES HUMBERT
24. Cela pose, voici quelques-unes des nombreuses propositions etablies dans le Me mo ire 37 :
Le lieu des centres des spheres de rayon niu appartenant a un mime groupe est une cy elide homofocale a la proposec.
Les biquadratic/ ues communes a une cyclide et aux spheres d'un meme groupe ont une. de leurs lignes focales sur la cyclide, lieu des centres des spheres de rayon mil du groupe.
Toute sphere passant par un cercle hitangent du groupe V appartient au groupe V de spheres.
Les axes des cercles d'un meme groupe V, bitangenls a une cyclide, touchent une quadrique U, homofocale aux quadriques deferentes de la cyclide.
25. J'appelle cubique principale d'une cyclide le lieu des centres des quadriques V inscrites :
Si une section plane a un axe de symetrie, cet axe est une corde de la cubique principale ; leplan mene par Vaxe normalement au plan de section oasse par un point fixe 0 de la cubique.
Les plans des courbes a deux axes de symelrie qu'on pent tracer sur la cyclide enveloppent une developpable, dont la podaire, par rapport au noint 0, coincide avec la cubique principale, etc.
26. Je signalerai encore des propositions sur les normales, les lignes do courbure, les centres de courbure principaux d'une cyclide et, en particulier, des constructions tres simples de ces centres pour un point donne de la surface.
La Note 38 traite un probleme interessant pose par M. Darboux. L'eminent Geometre a montre qu'on peut determiner les lignes de courbure d'une cyclide quahd on prend pour absolu (Cayley) une quelconque des quadriques V inscrites; je fais voir que ces lignes, quelle que soit la quadrique V cboisie, coincident avec les lignes de courbure ordinaires.
27. Le Memoire 39 etend aux quadriques les notions de points conjugues et de groupes de spheres; le Memoire 41 est consacre a une question d'un ordre different.
OiliVltES I)E O, HUMBERT. T. I. i
oi:u vines de geokges humbkht.
II semble a priori qu'il y ait une infinite simple de quadriques indecomposables touchant respectivement en quatre points deux quadriques donnees; en realite, je montre qu'il n'en est rien : si les deux quadriques primitives ne satisfonl pas a une condition initiate, il n'existe aucune surface du second ordre quadritangente a I'une et a I'autre; si la condition est verifiee, il exisle une infinite double de telles surfaces.
La condition initiale peut recevoir diff'6rentes formes, que j'indique.
C'est la theorie de la surface de Kummer qui m'aamene au probleme precedent; le lien entre les deux questions est exprime par cette proposition :
Les surfaces du second ordre, quadritangentes a deux quadriques donnees et passant par an point donne, ont pour cnveloppe une surface de Kummer.
Reciproquement, toute surface de Kummer est susceptible tie ce mode de generation.
