II. — Surfaces du troisieme ordre

28. En etudiant (43) un complexe remarquable de coniques, j'ai etc conduit a quelques proprietes simples de la surface du troisieme ordre.

Considerons cinq points de 1'espace co,, co2, co. et les cubiques gauches en nombre doublement infini qui passent par ces points; lc lieu des points de contact d'un plan quelconque avec les cubiques de ce systeme est une conique. On definit ainsi un systeme trois fois infini, e'est-a-dire un complexe de coniques, dont il y a une et une seule dans chaque plan de 1'espace, et je montre que :

Les deux nouvelles coniques doubles de la surface developpable circonscrite a deux coniques quelconques du complexe appartienncnl egalement au complexe.

La theorie des surf aces cubiques se rattache a la precedente par deux propositions qui donnent deux generations simples de ces surfaces :

Le lieu des coniques du complexe dont les plans passent par une droile donnee o est une surface de troisieme ordre qui contient la droite.

NOTICE SUR LES TlUVAUX SCIENTIFIQUES DE GEORGES HUMBERT. r'~

A tonics les cubiques gaudies passant par les cinq points w, on mene, (rune droitc donnee, o, des plans tangents : le lieu des points de contact est la surface du troisieme ordre precedente.

On deduit dc la de nombreuses consequences relatives aux coniques situees sur une surface cubique.