III. — Surface desmique du quatrieme ordre
29. On dit que trois tetraedres constituent un systeme desmique lorsque les trois surfaces du quatrieme ordre, formees respectivement parlours faces, appartiennent aun meme faisceau ponctuel; on appclle surface desmique toute surface de ce faisceau. Dans le Memoire 44, j'exprime les coordonnees d'un point d'une telle surface a l'aicle de fonctions elliptiques de deux parametres u et v, et j'en deduis tout une theorie geometrique.
On peut tracer sur la surface trois series de biquadratiques gauches, toute tangente de l'une touche !a surface desmique en un nouveau point, de sorte que la developpable, qui a pour arete de rebroussement une des biquadratiques precedentes, est circonscrite a la surface le long d'une courbe; enfin les cordes des biquadratiques des trois series appartiennent aun meme complexe du troisieme ordre.
30. Appelons courbe lineaire toute courbe tracee sur la surface desmique, etdontla tangente en un point forme, avec les tangentes aux trois biquadratiques qui passent par ce point, un faisceau de rapport anharmonique donne; l'equation generale de pareilles courbes est lineaire en u et v.
On peut, a l'aide des courbes lineaires, constituer sur la surface une Geomelrie identique a la Geometric euclidienne du plan, en ce qui concerne du moins les proprietes angulaires.
V angle desmique de deux directions en un point de la surface se definit exactement comme sur la sphere, a l'aide du rapport anharmonique de ces directions et des deux directions asymptotiques au point considere; on etablitces propositions :
La somme des trois angles d'un triangle desmique, c'esl-d-dire forme oar trois courbes lineaires, est egale a u \ deux directions conjuguees sur la
surface font entre clles un angle desmique droit; le lieu du sommet mobile d'un triangle desmique, dont la base est fixe ct dont les deux angles desmxques a la base sont egaux, est une courbe lineaire, conjuguee de la base, . . ., etc.
31. Les sections planes de la surface desmique (44 et 45) sont evidemment des courbes desmiques, c'est-a-dire que chacune d'elles appartient a un faisceau de quartiques qui contient trois systemes de quatre droites; mais il estremarquable qu'une courbe desmique est desmique d'une infinite de manieres; de plus :
Toute courbe desmique a 18 bilangentes remarquables, qui peuvent etre groupies en 6 triangles jouissant de la propriele suivante : les trois bilangentes de chaque triangle sont les diagonales d^un quadrilatere complet, dont les (3 sommets sont lews points de contact avec la courbe.
II existe i83 coniques dont chacune louche un cote de chacun des 6 triangles.
32. La reciproque de la surface des centres de courbure d'une quadrique a centre est une surface desmique; on obtient par la (46) des propositions sur les normalcs dune quadrique.
Au complexe du troisieme ordre signale plus haut correspond celui des normales aux quadriques :
, , j! ii '
((7+6)(<; + c) (o- -t- c) (cr + a) (cr a) (<r + b) ~ '
ou ct est un parametrc variable.
Les normales aux ombilics etant les memes pour toutes les surfaces (i), elles font partie, d'apres un beau theoreme dc Maurice Levy, d'un sy steme triple orthogonal. C'est la famille la plus generale de quadriques a centre pour laquelle les ombilics decrivent des droites normales a toutes les quadriques.
M. Darboux a bien voulu la mentionner dans son Ouvrage sur les Systemes triples orthogonaux.
