NOTICE SUR LES TRAVAUX SCIEHTIFIQUES DE GEORGES HUMBERT. 2Q
surfaces qui ne possedent pas d'integrales de cette nature sontcomparables, sous plusieurs rapports, aux courbes unicursales : sur l'une d'elles, en effet, les courbes d'un ordrc donne peuvent etre individuellement decoupees par des surfaces formant un systeme lineaire; de meme que, sur unc courbe unicursalc, les noints sont individuellement decoupes par des courbes formant un faisccau. L'enonce plus precis de ce theoreme, etabli dans le Memoire 51, est le suivanl :
Sur une surface nayant pas d'integrales de differentielles totales de premiere, espece, les courbes algebriques d'un meme ordre se repartissent en une ou plusieurs series lineaires.
Parmi les corollaires, citons celui-ci :
Si Von pent tracer, sur une surface S, une serie simplement infinie de courbes unicursales , se coupant deux a deux en un point mobile au moins, et n ay ant pas de point singulier mobile en dehors des lignes multiples de S, la surface est representable point par point surle plan.
Le mode de raisonnement que j'ai employe dans la Note 54 et le Memoire 51 a ete bien souvent imite depuis, principaiement par les Geometres italiens : l'un des plus eminents d'entre eux, M. Severi, a spontanement affirme ma priorite a ce sujet.
34. On dit qu'une involution, formee de groupes den points sur une courbe algebrique, est d'ordj-e n; elle est d 'espece k si chaque groupe est determine par k de ses points choisis arbilrairement; elle est rationnelle si ses groupes sont ceux que decoupent, sur la proposee, les courbes d'un systeme lineaire. Cela pose (49) :
Les involutions non rationnelles, en dehors nalurellement de cedes donl I' espece egale V ordre, sonltoutes d' espece un, el il n'en existe pas sur une courbe prise au hasard.
Si une courbe C, de genre p, admet une involution non rationnelle d' 'espece un, elle est Heed une courbe Z, dc genre <^p), de telle sorte qua un point de C corresponde un point de C, et qua un point de 8 correspondent n points de G : les groupes de n points ainsi definis sur C forment V involution.
Si d est le nombre des points doubles, on a
2(p — i) — 2 // (bj — I ) d.
OKUVRES DE GEORGES HUM UK!.
Je montre aussi qu'il ne peat exister, sur une courbc algebrique, une serie continue d'involutions irrationnelles do meme ordrc. Comme consequence (50) :
Si Von peut tracer sur une surface algebrique une serie simplement infinie de courbes unicur sales, dc meme ordre, se coupant deux a deux en un point mobile, la surface est representable point par point sur le plan, meme si les unicursales onl des points singuliers mobiles en dehors des lignes multiples de la surface.
35. Autant la theorie des surfaces representables point par point sur le plan est riche en propositions particulieres et en exemples curieux, autant elle semble pauvre en resultats generaux. U n'et;iit done pas sans inferet d'arriver, dans ce domaine, a des theoremes d'une application etendue. C'est pourquoi, dans le Travail 55, j'ai recbercbe, d'une maniere generale, quellessont les images sur le plan des courbes communes a une surface unienrsale ct a ses adjointes d'un ordre donne : les resultats anterieurement obtenus sur cette question etaient incomplets et souvent meme inexacts.
36. Une surface peut correspondre point par couple, a une courbc algebrique C; e'est-a-dire qu'a un couple de points de C correspond un point de la surface, et inversement qu'a un point de la surface repond un seul couple sur C. Si C est de genre p, la surface est de genre \p{p - i).
Lorsque p = 3, on peut supposer que C est la courbo plane generale d'ordre quatre; alors, pour une des surfaces qu'on vient dc definir, les coordonnees non homogenes d'un point sontdes fonctions abeliennes a six periodes, de trois parametres u, v, w, lies par la relation v, w)= o, ou designe une des 64 fonctions abeliennes normales du premier ordre.
Je definis analytiquement une surface, S, de cette nature; toutefois, si a un couple de points sur C correspond un seul point de S, a un point de S repondent, sur C, deux couples, situes sur une meme droite. La surface S est neanmoins de genre trois; son degre est six.
Aux demi-periodc's et aux 63 fonctions .j, autres que correspondent, sur S, des points et courbes remarquables, que j'etudie en detail; je trouve ainsi, en particulier, que S a 16 points doubles isoles,
NOTICE SUR LES TKAVAUX SCIFJVTIFIQUES DE GF.OKC i:s IIUMI1EUT. >1
un point triple, 12 droites concourant en cc point, 32 cubiques planes, 3o biquadratiques.
D'ailleurs, S se deduit geometriquement, d'une maniere tres simple, de la surface de Kummer.
Considerons, en effet, une surface de Kummer, K, et un point 0 : toute secante issue de 0 coupe la surface en 4 points, qui se repartissent, de trois manieres difterentes, en deux couples, et les deux couples de chaque groupement determinent sur la secante une involution du second ordre, dans laquelle le point 0 a un conjugue, m : le lieu des points m, quand la secante varie, est une surface S, dont les 16 points doubles sont ceux de K.
Cetle representation conduit egalement a des proprietes nouvelles des courbes du quatrieme ordre, ou de quatrieme classe (59 et 5G). Par exemple :
Les 28 points doubles d'une courbe 8, de quatrieme classe, sont, 6 par 6, sur 1008 coniques : ces coniques se repartissent en 336 group es de trois, de telle sorle que les trois coniques cCun groupe naienl en commun aucun point double de Z, el se coupent en quatre memes points.
