I. — Surfaces hyperelliptiques
37. L'Academie des Sciences avait propose, comme sujet pour le prix Bordin en 1892, la question suivante :
Applications de la theorie generale des fonctions abeliennes a la Geometric
Le Memoire (60) que j'ai envoye au concours a obtenu le prix; on me permettra de citer in cxtenso le Rapport de M. Poincare sur ce Travail :
Si Ton exprime les coonlonnees d'un point d'une courbe algebrique de
genre i par des fonctions elliptiques, l'i n trod nction de ces transcendantes met en evidence bien des proprietes de ces courl)es qui auraient pu echapper au chercheur s'il n'avait possede que les seules ressources de l'Algebre. C'esl la une source imporlante d'applicalions des fonctions doublcment periodiques a la Geometric II peut paraitre nalurel de generaliser cette methode ct d'etudier, par des procedes analogues, certaines categories de surfaces. On avait cependaut jusqu'ici peu travaille dans cette voie; aussi, en y penetrant, les analystes pouvaient-ils elre assures d'y rencontrer une ample moisson de decouvertes.
Cost ce qui a decide 1'Academie a meltre la question au concours; son attente n'a pas ete trompee ; un seul Memoire, il est vrai, a ete depose au Secretariat, mais les resultats qui y sont demontres sont d'une tres grande importance et conduisent a la solution de plusieurs problemes interessants. Les surfaces hyperelliptiques, c'est-a-dire les surfaces telles que les coordonnees d'un quelconquede leurs points peuvent s'exprimer par des fonctions quadruplement periodiques, sont de deux sorles. 11 peut arriver, en effet, qu'a chaque point de la surface corresponde un seul point du champ hyperelliptique, on bien plusieurs points de ce champ. Les surfaces de la premiere classe sont celles de M. Picard ; mais on connait depuis longlemps une surface de la deuxieme classe a laquelle est attache le nom de Kummer.
La plus grande partie du Memoire est consacree a la theorie de la surface de Kummer; bien que cette surface ait deja fait l'objet des travaux d'un grand nombre de Geometres allemands, l'auteur a decouvert beaucoupde proprietes nouvelles dont quelques-unes s'enoncent fort elegaimnent. II s'altache surtout a I'etude des courbes tracees sur la surface. On sait quelles difficulles presente la classification des courbes gauches, et, en particulier, de celles qui sont tracees sur une surface donnee. Cette question, abordee par notre regrettc confrere Halphen, lui avait inspire un Ouvrage justement admire de tous les (ieometres, et couronne autrefois par 1'Academie de Berlin.
Le probleme a ete resolu completemenl par Halphen pour quelques surfaces, pour celles du second degre, par exemple. Grace a l'emploi des fonctions abeliennes, l'auteur du Memoire fait, pour la surface de Kummer ce qu'Halphen avait fait pour les quadriqnes. II etudie en outre, avec de grands details, les surfaces inscriles dans cclle de Kummer, les relations de la surface de Kummer avec sa reciproque, les surfaces adjointes a celle de Kummer.
Quatre Cbapitres sont consacres a I'etude des surfaces de M. Picard et des courbes qu'on peul tracer sur elles. Le plus important est celui oil se trouve etablie la liaison entre les fonctions hyperelliptiques et les surfaces adjointes a une surface hyperelliptique donnee.
Revenanl enfin aux surfaces hyperelliptiques de la deuxieme classe, l'auteur etudie celles qui sont telles qu'a chacun de leurs points correspondent deux couples d'arguments, et il montre que ces surfaces correspondent point par point a celle de Kummer.
