QUEMENT
Les courbes tracees sur la surface de Kummer sont toutes de degre pair, et le long d'une courbe quelconque (d'ordre ip), on peut circonscrire a la surface une surface (de degre p), ne la coupant pas en dehors de la courbe.
Je donne, pour representer les 16 points et les 16 plans singuliers, un algorithms nouveau, particulierement simple, qui m'est utile dans toute la suite du Memoire, et j'indique la classification des courbes d'un degre donne, (\m ou [\m ■+- 2, tracees sur la surface.
L'etude des courbes de degres 4> 6 et 8 est interessante ; je citerai seulement un resultat :
La surface de Rummer admet 16 families, trois fois infinie chacune, de surfaces inscrites du troisieme ordre, a quatre points doubles; les quatre points doubles, situes sur la surface de Rummer, sont les sommets d'un tetraedre, dont les six aretes louche n I la surface en six nouveaux points.
Dans mes lecons au College de France, j'ai donne bien d'autres proprietes, encore inedites, de la surface de Kummer; quelques-unes derivent d'une transformation, due a Duporcq, et que M. Bricard, alors
(EUVRRS DK 0. HUMBERT, L. I.
•J4 OfeUVRES 1>F. ( ; EORGES HUMBERT.
un de mes auditeurs, a developpee analytiquement d'une maniere tres interessante.
39. Surfaces hyperelliptiques generates. - Ce sont celles pour lesquelles les coordonnees d'un point sont des i'onctions abeliennes de deux parametres u, v, telles qu'a un point ne reponde, aux periodes pres, qu'un couple d'arguments. La liaison entre les fonctions theta et les surfaces adjointes resulte de ce theoreme :
Si les coordonnees d'un point d une surface S, de degre n, sont proporlionnelles a quatre fonctions theta, de caracteristique nulle, dordre h, ay ant en des points ut, v{\u2,v2: .. .des singularites communes a <72, les surfaces adjointes, dordre n -+- q — 4, decouperont sur la proposee le systeme lineaire de courbes
'kl9l{u, v) -\-l29.2(u, (')+'... = o,
les 0 etant des fonctions theta de caracteristique nulle, d ordre hq, ayant en (uk, vk) la singularite adjointe de {q^k)- Reciproquement , toute courbe de cette nature est sur une adjointe d'ordre n -+- q — 4-
La surface unique d'ordre n — r\, adjointe a S, coupe celle-ci, en dehors des courbes multiples, suivant des courbes unicursales, quo fappelle unicursales sing uliercs (courbes ausgezeichnele de M. Neither); je montre que :
Les surfaces adjointes d'ordre n + q — 4, qui passe ni par les courbes unicursales singulieres, decoupent sur la proposee le systeme lineaire de courbes
p.l%l(u, v) -h ix,%2(u, <>)+... = o,
oil les Sr sont des fonctions theta de caracteristique nulle, d'ordre hq, ayant, en uk, V/., la singularite (q<j;i), et reciproquement.
Les deux propositions precedentes entrainentde nombreuses consequences geornetriques ; la suivante est relative aux surf 'aces de contact :
Soit S une surface hyperelliptique d'ordre n. Les surfaces d'ordre n -+- rm — l\ , adjointes a S, passant par les unicursales singulieres, et ayant avec la proposee, tout le long du reste de V intersection, un contact d'ordre r — i, se divisent en syslcmes. Dans chaque systeme, les courbes de contact forment une serie lineaire.
