III. — Fonctions abeliennes singulieres

42. Soit (i, o), (o, i), (g, h), (h, g') un systeme de periodes normales pour des fonctions abeliennes de deux variables : au cours de

ines recherches sur les surfaces hyperelliptiques, j'ai du supposer <|ue g, h, g' n'etaient li6s par aucune relation a coefficients entiers du type

(i) A^ + BA + C^' + D(/i!-^') + E = o;

dans Thypothese contraire, la surface pouvait admettre d'autres courbes algebriques que celles obtenues en annulant des fonctions theta, formees avec les periodes precedentes.

En appelant relation singuliere entre les periodes toute relation de la forme (i) ou les entiers A, B, . . E sont supposes sans diviseur commun, j'ai etudie dans les Notes 63 a 71, etdans les deux Memoires etendus 72 et 73, les fonctions abeliennes correspondantes, que j"appelle fonctions singulieres.

43. Un premier resultat est que toute transformation, d'ordre un, des periodes g, h, g' change une relation singuliere en une autre, et que la quantite Ba — 4AC — 4DE est la meme pour toutes deux. J'appelle cette quantite Y invariant de la relation singuliere, et j'etablis ensuite cette proposition fondamentale que :

Deux relations singulieres de meme invariant peuvent etre ramenees Vune a V autre par une transformation du premier ordre des periodes.

II en resulte, pour les relations singulieres d'invariant A, selon que A est du type 4N ou du type 4N + i , les deux formes canoniques

44. L'invariant est un nombre essentiellement positif; s'il est carre pa/fait, une integrale abelienne de premiere espece correspondant aux periodes considerees est reductible a une integrale elliptique, et reciproquement. Dans ce cas, que j'appelle le cas elliptique, Tinvariant etant n2, la relation singuliere pent se ramener a nh — i = o : c ost l^i une nouvelle demonstration d'un theoreme celebre, enonce par Weierstrass, etabli et complete par M. Picard.