IV. — Fonctions intermediaires singulieres
45. En designant loujours par (i, o), (o, i), (g, h), (h, g') un systeme de periodes abeliennes normales pour deux variables u et v,
NOTICE SUll LKS TRAVAUX SCIENTIFIC^ U F.S DE GEORGES HUMBERT. !~
j'appelle, a l'exemple de Briot et Bouquet et de M. Poincare, fonction intermediaire toute fonction entiere de u, v qui se reproduit, multipliee par une exponentielle e'M^v^', quand on augmente u et v d'une periode.
Si les periodes ne verifient pas de relation singuliere, il n'y a pas d'autres fonctions intermediaires (a un facteur exponentiel pres) que les fonctions theta derivees des periodes (i , o), (o, i), (g, h), (A, g1 ); si, au contraire, les periodes satisfont a une relation singuliere, il existe des fonctions intermediaires, dont chacune est liee a deux entiers, / et k, que j'appelle ses indices.
Le produit d'une fonction d'indices /, k par une fonction d'indices /', — k est une fonction theta, d'ordre /-h On voit ainsi que, dans le cas des fonctions abeliennes singulieres, une fonction theta peut se decomposer en un produit de deux facteurs qui ne sont pas, a un facteur exponentiel pres, des fonctions theta aux memes periodes.
La relation singuliere etant ramenee a v.g ■+- $h + yg' = o :
Deux fonctions intermediaires singulieres, d'indices I, k et I', k', ont un nombre de zeros communs, abstraction faite des multiples des periodes, e'gal dill' -r- §(lk' -h kl') -+- 1 ayM'.
46. Les fonctions intermediaires d'indices /, k sont fonctions lineaires et homogenes de /2 4- ftkl -+- y.yk2 d'entre elles, dont j'obtiens aisement les developpements en serie d'exponentielles.
Je definis les fonctions intermediaires normalesa peuprescomme on definit les theta normaux; il s'introduit un systeme de quatre entiers, egaux a o ou i , qui forment la caracteristique de la fonction. Pour chaque systeme d'indices et pour chaque caracteristique, je determine les fonctions normales paires ou impaires, ainsi que les demi-periodes qui les annulent : de la des groupes interessants de demi-periodes; si k est pair, ils coincident avec ceux qui annulent les fonctions theta normales d'ordre /, ayant meme caracteristique que les fonctions considerees; si k est impair, on obtient de nouveaux groupes, que je caracterise, et dont je donne explicitement le Tableau dans tous les cas.
En annulant une fonction intermediaire, singuliere normale, paire ou impaire, on obtient, sur la surface de Kummer, une courbe algebrique singuliere", qui n'existe pas sur la surface de Kummer generale, et qui passe par certains groupes de points doubles de la surface :
j'etablis deux formules importances donnant le degre et le genre d'une telle courbe.
Inversement, je montre que, si une surface de Kummer admet une courbe algebrique n'existanl pas sur la surface generale, c'est une surface singuliere, c'est-a-dire derivant dc fonctions abeliennes singulieres.
Les resultats precedents contiennent la classification des courbes singulieres d'un degre donne, qu'on pout tracer sur une surface de Kummer singuliere.
