V. — Equations modulaires

47. La question se pose naturellement de determiner les radicaux qui donnent naissance a des fonctions abeliennes singulieres; ou, sous une autre forme, dc trouver les conditions necessaires et suffisantes auxquelles doivent satisfaire les constantes a,, a2, . . ., a6, pour que les periodes des fonctions abeliennes derivees du radical

soient liees par une relation singuliere, ({'invariant donne.

L'equation entre a, , . . ., aB est ce que je nomme I 'equation modulaire correspondant a l'invariant considere; elle est algebrique.

J'indique, pour la former de proche en proche, une meihode geometriquc simple; dans les cas des invariants cinq et huit, elle conduit aux resultats suivants :

Les six points doubles situes sur une meme conique, d'une surface de Kummer repondant a des fonctions singulieres d' invariant cinq, sont tels qu'il exisle une conique passant par I'un d 'eux et inscrite a un pentagone forme par les cinq aulres ; et reciproquement.

Les six points doubles, situes sur une meme conique, d'une surface de Kummer repondant a des fonctions singulieres dHnvarianl huit, sont tels qu'il exisle une conique passant par deux d 'entre eux et inscrite a un quadrilatere forme par les quatre autres; et reciproquement.

On deduit de la, dans les deux cas, l'equation modulaire correspondante entre les <-/,; ces equations, et celle de l'invariant douze que j'ai egalement formee, peuvent s'obtenir sous une autre forme (76), si Ton

NOTICE SUR LES TRAVAUX SCIENTIFlQUES DE GEORGES HUMBERT. 3g

introduit les valeurs que prennent, pour les arguments zero, les dix fonctions theta paires, normales, d'ordre un.