VI. — Transformations singulieres
48. Etant donne un systeme de periodes (i , o), (o, i), (g, h), (//, g'), que j'appellerai plus simplement (g, h, g'), Ie probleme de la transformation, pose par Hermile, consiste a trouver tous les systemes (G, H, G'), tels qu'une fonction abelienne quelconque, F(U, V), formee avec ces nouvelles periodes s'exprime rationnellement a l'aide des fonctions abeliennes, f{u>, v), admettant les periodes primitives.
En exprimant que U et V sont lineaires en u, v, et que, si Ton augmente u et v d'une de leurs periodes, U et V augmentent d'une des leurs, on obtient quatre relations entre g, h, g' et G, H, G', contenant seize entiers ; l'elimination de G, H, G' conduit, entre g, h, g' , a une relation de forme singuliere (n° 42).
Si done g, h, g' sont pris au hasard , les coefficients de g, h, g , h2 — gg' et le terme constant dans cette equation doivent etre mils : e'est 1'hypothese qu'a faite implicitement Hermite, et dont il a deduit la thoorie ordinaire de la transformation. Mais si g, h, g' sont lies par une relation singuliere, il existera d'autres transformations, que j'appelle singulieres, par opposition aux transformations df'Hermite, que je nomme ordinaires.
La relation singuliere etant ramenee au type
g+ yg' = o,
je trouve que toute transformation singuliere depend de deux entiers / et k, que je nomme ses indices; j'appelle degre\e nombre des systemes de valeurs de (u, v) qui correspondent a un systeme de valeurs de U, V, le tout aux periodes pres, et je demontre que le degre est la quantite o
5 = l2 + p.kl-hyks,
qui doit etre positive.
/i9. Une transformation d'indices / et k change une fonction theta, d'ordre m, des variables U, V, aux periodes (G, H, G'), en une fonction
intermediaire singuliere de u, v, d'indices ml et ml,-, aux periodes
D'ailleurs G, II et G' sont lies comme g\ l>, g', parune relation singuliere; la transformation ci-dessus change unc fonction intermediaire singuliere de U, V, d'indices donnes, en une fonction intermediaire singuliere de u, v, dontje calcule les indices en fonction des precedents et de ceux de la transformation.
50. Reduction d'une transformation. — En faisant preceder une transformation singuliere, d'indices / et k, d'une transformation ordinaire d'ordre un, on ne change pas les indices, et Ton peut ainsi donner a la transformation iniliale une forme reduite : deux transformations reduites differentes nesont pas reductibles Tunc al'autre par une transformation ordinaire du premier ordre.
J'obtiens toules les transformations reduites d'indices donnes, / et k, et, comme consequence, toutes les transformations sin gulieres du premier degre : ce sont des puissances de l'une d'entre elles, T0.
51. Une transformation du premier degre fait correspondre point par point deux champs hyperelliptiques, ou si Ton veut deux surfaces hyperelliptiques, s et S, liees respectivement aux periodes (g, h, g') et (G, H, G ) : les deux champs, ou les deux surfaces, onl-ils les memes modules ?
On doit repondre negativement a cette interessante question.
Les surfaces s et S qui se correspondent par la transformation T^ont memes modules; de meme celles qui se deduisent de s par T^+l ont enlre elles memos modules; mais la transformation T0 ne change s en une surface de memes modules que si la forme l2+$kl-i-yk2 peut representer le nombre — i. Dans le cas contraire, on obtient ainsi des couples de surfaces se correspondant point par point et n'ayant pas les memes modules : le theoreme celebre de Riemann sur les courbes algebriques ne s'etend done pas aux surfaces.
52. Mes recherches sur tous ces sujets sont devenues classiques et figurent dans les Traites generaux, dans celui, par exemple, de Krazer Sur les fonctions abeliennes. MM. Enriques et Severi les ont sans cesse utilisees dans leur Memoire, couronne par TAcademie des Sciences, Sur
