VII. — Multiplication complexe

53. Si Line transformation, singuliere ou non, fait correspondre deux systemes de fonctions abelienncs auxmemes periodes, je dis, par analogie avec le cas elliptique, que c'est une multiplication complexe.

Le probleme de determiner tous les systemes de periodes de multiplication complexe n'avait jamais ete traite avec la generality qu'il comporte, parce que les auteurs qui s'en etaient occupes avant moi admettaient toujours que la transformation de correspondance est une transformation d'Hermite : le cas des transformations singulieres, qui donne precisement naissance aux multiplications complexes les plus remarquables, n'avait jamais ete aborde.

J'etablis que les periodes (jg, h, g') de multiplication complexe doivent verifier quatre relations (A), (B), (C), (D), de forme quadratique, et qui ne sont des identites que dans le cas de la multiplication ordinaire. Je demontre que :

i° Les periodes g, h, g', de multiplication complexe sont toujours liees par une relation singuliere, au moins;

2° Si les equations (A), (B), (C), (D) se reduisent a une seule, c'esta-dire si g, h, g' sont doublement indetermines, la relation entre g, h, g' est singuliere;

3° Si g, h, g' sont simplement indetermines, les relations entre g, h, g' sont deux relations singulieres, en excluant un cas elliptique de multiplication complexe elliptique;

4° Si g, h, g1 sont completement determines par les equations (A), (B), (C), (D), il existe entre ces periodes une ou trois relations singulieres.

54. Les multiplications complexes correspondant a chaque cas sont les suivantes :

i° Dans le cas ou g, h, g' sont lies uniquement par une relation singuliere, supposee du type ag ■+ $h -h yg'= o, les multiplications

complexes sont donnees par les formules

[] = pu — yae; V = aau -+■ (p + (3a)e,

p et a etant deux entiers quelconques.

Les multiplications complexes de degre un, c'est-a-dire les transformations birationnelles en elle-meme de la surface hyperelliptique qui repond aux periodes (g, h, g'), sont donnees par les formules precedentes, les entiers p et cr verifiant la relation

p2 + (3pa -+- aycr = ± i .

Ce sont, dans tous les cas, des puissances d'une seule d'entre elles, combinee avec les transformations evidentes

U — zt u + const. ; \ = ± v -t- const.

Les formules ci-dessus, appliquees a la surface de Kummer correspondante, montrent que celle-ci admet des transformations birationnelles en elle-meme, formant un groupe infini et discontinu. C'est le premier exemple connu d'un tel groupe pour une surface algebrique; avant ma publication, on pouvait penser, par analogie avec le cas des courbes, que l'existence de ces groupes etait impossible. Depuis, d'autres geometres, M. Painleve en tete, ont fait connaitre des exemples analogues.

20 Dans le cas de deux relations singulieres, on peut ramener ces relations aux formes

h"-—gg!—d; ag+fih + yg'^zu,

avec les conditions

(32 — 4ay>o; rf>o; w2— o?((35— 4«y )< o;

les multiplications complexes sont donnees par

U = [ p -+- aag -h ((3<7 — t) /*•] u -+- [ yO + xg + yah ] (\ V - [ — ad -t- occrh -t- ((3(7 — z)g'] u -+- [p — (30 +- zh ■+■ yag']v,

p, a, 0, t etant des entiers quelconques, et les multiplications de degre un s'en deduisent immediatement.

3° Dans le dernier cas enfin, g, h, g', sont lies par trois relations,