VIII. — Surfaces diverses

55. Les formules qui donnent les periodes G, H, G', deduites de g, h, g' par une transformation ordinaire du premier ordre, ne sont pas lineaires : M. Picard a observe qu'elles le deviennent si Ton fixe la valeur de la quantite h2 — gg', etil a ainsi obtenu un groupe de substitutions a deux variables qu'il a nomme groupe hyperabelien. Les fonctions hyperabeliennes sont celles qui demeurent invariables par les substitutions du groupe, et comme trois d'entre elles sont liees par une relation algebrique, on arrive par la a la notion de surfaces hyperabeliennes : mais l'equation d'aucune surface de cette nature n'avait ete explicitement obtenue. Les equations modulaires que j'ai formees (n° 47) en ont fourni les premiers exemples : en particulier, partant du cas de l'invariant huit, j'ai trouve une surface hyperabelienne d'ordre quatre, et montre qu'on peut exprimer en fonction uniforme (hyperabelienne) de

deux parametres les sept quantites

ou m et v sont arbitraires.

56. Les fonctions intermediates singulieres m'ont conduit (68) a d'autres surfaces, par exemple a des surfaces hyper elliptiques du quatrieme degre a quinze points doubles, dependant de deux modules arbitraires et d'un entier D, et possedant la propriete suivante :

Projetons la surface sur unplan a parlird'un des quinze points doubles, le contour apparent se compose, comme d 'ordinaire , d\me conique et de qualre droites; pour les surfaces en question, it existe une courbe de second ordre circonscrite au triangle forme par trois des droites, tangente a la comque et passant par les poin ts communs a cette conique. el a la quatrie'me droit e.

57. Je traite, dans la Note 71 et le Memoire 74, le problerne suivant :

Existe-t-il des fonctions uniformes, F(«, v), ayant pour paires de periodes (i, o), (o, i), (g, h), (hr, g' ), h' etant different de h; en second lieu, si h' — h, est-il necessaire que h2t — g^ g\ soit negatif, git hs, g'( de'signant les parties imaginaires de g, h, gl ' ?

Je montre comment ces fonctions se rattachent aux fonctions abeliennes singulieres, et je fais connaitre leurs proprietes fondamentales, ainsi que les surfaces, analogues aux surfaces hyperelliptiques, qui leur sont liees; je retrouve laencore une surface d'ordre quatre a quinze points doubles.