IX. — Transformation ordinaire

58. Les Memoires 77 et 78 indiquent une interpretation geometrique tres simple de la transformation ordinaire des fonctions abeliennes. Je commence par etudier les courbes de genre zero et un qu'on peut tracer sur une surface de Kummer et je rencontre des proprietes interessantes de ces courbes, qui doivent necessairement passer par certains points doubles de la surface, six au moins pour une courbe de genre zero. J'en

NOTICE SUR LF.S TIlAVAUX SCIENTIFIQUES DE GEORGES HUMBERT. 4 :)

conclus que les six arguments unicursaux correspondanls sont les racines d'un polynome qui definit des fonctions abeliennes, liees a celles de la surface de Kummer par une transformation ordinaire, dont l'ordre est le demi-degre de l'unicursale consideree.

Des proprietes analogues existent pour les courbes de genre un, et pour celles de genre deux qui ne contiennent aucun point double de la surface. Ainsi :

Les surfaces d'ordre p qui Louchenl une surface de Kummer en ip2 — i points se repartissent en autant de groupes quit y a de transformations ordinaires, non equivalentes , d'ordre p. Celles d'un meme groupe coupent la surface de Kummer suivant des courbes de genre deux qui onl les memes modules ; ces modules sont ceux d'un des systemes de fonciions abeliennes derivees, par une transformation d'ordre p, des fonctions liees d la surface de Kummer initiate.

Parmi bien d'autres consequences, on peut citer celle-ci, a cause de sa simplicity :

Soit donne un radical sj(x — a,). . .{x — a6); marquons sur une conique quelconque (a) les six points qui ont pour arguments unicursaux les quantites a,, a.,, a0 et joignons-les deux a deux par trois droites, de maniere a former un triangle T dont chaque cote contienne deux des six points et dont aucun sommel ne soit sur la conique. II y a quinze pareils triangles.

Prenons maintenanl le triangle polaire de T par rapport a la conique ; soient bt, &2, . . b(l les arguments des six points oil ses cotes coupent la courbe; les deux radicaux

\J(x — at)...(.r — a6) et \J{x — 6,). . ,{x — 66)

donnent naissance a deux systemes de fonctions abeliennes lies Vun a V autre par une transformation du second ordre.

Aux quinze triangles T correspondent ainsi les quinze systemes qui derivent du systeme primitif par une transformation quadratique.