I. — Fonctions singulieres et formes quadratiques

59. Les Notes 79, 80, 81 et les Memoires developpes 82 et 83 ont pour but d'etablir certaines liaisons remarquables entre la theorie des fonctions abeliennes singulieres ctcellesdes formes quadratiques arithmetiques.

Tout d'abord l'etude des transformations du premier ordre pour les fonctions simplement singulieres introduit un groupe de substitutions lineaires a cinq variables, isomorphe au groupe abelien d'Hermite, et ces substitutions me permettent de deduire d'une seule d'entre elles toutes les representations d'un entier par la forme indefinie

x1 — l\yz — 4 tu.

60. Les fonctions doublement singulieres sont particulierement interessantes. A chaque systeme de telles fonctions j'associe une classe de formes binaires positives, proprement ou improprement equivalentes entre elles, et qui reste fixe quand on opere, sur le systeme propose, une transformation ordinaire quelconque de degre un.

Inversement, les systemes donnant naissance a des formes d'une classe donnee sont reductibles, par de telles transformations, a un nombre fini d'entre eux, nombre egal a l'unite dans un grand nombre de cas.

Si, au lieu des periodes, on considere les trois modules des fonctions abeliennes, ceux-ci sont lies par une ou deux relations algebriques, selon que les fonctions sont simplement ou doublement singulieres. On fait ainsi corresponds a toute relation singuliere, ou plutot a son invariant entier, une surface algebrique; a tout systeme de deux relations, ou plutot a la classe associee, repond de meme une (ou plus d'une) courbe gauche. La relation fondamentale entre surfaces et courbes est exprimee par le theoreme suivant :

Si une classe de formes represente proprement un entier, la surface qui