NOTICE SUR LES TRAVAUX SCIENTIFIQUES DE GEORGES HUMBERT

repond a Vender contient la courbe qui repond a la classe, et reciproquement.

De plus, 1'ordre de multiplicity de la courbe sur la surface est le nombre des representations propres de Tender par chaque forme de la classe.

Les courbes ainsi introduites ont, au point de vue fuchsien de M. Poincare, des groupes que je determine : ils reviennenta des groupes decouverts par I'illustre geometre, et rattaches par lui aux transformations semblables des formes qnadratiques ternaires indefinies.

Poursuivant cette recherche, j'ai etabli que les courbes qui repondent a des classes de meme determinant et de meme genre arithmetique ont le meme genre geometrique et se correspondent point par point : de la une liaison bien inattendue entre les deux notions si dissemblables de genre en Arithmetique et en Geometrie.

Quant a la correspondance univoque entre les courbes associees a deux classes du meme genre, elle est realisee par trans formations singulieres du premier degre ; fa} developpe les consequences de cette proposition et mis en evidence le lien qui unit la theorie de ces transformations a celle des formes quadratiques ternaires.

61. Une etude analogue porte sur des fonctions triplement singulieres. A tout systeme de telles fonctions je fais correspondre une classe de formes quadratiques ternaires, positives; celte classe n'est pas quelconque : la propriete caracteristique de ses formes est de pouvoir representer un carre.

Inversement, a une classe de formes repondent, en general, plusieurs systemes, non equivalents, de fonctions triplement singulieres; leur recherche se ramene a l'etude des representations du discriminant de la classe par une forme ternaire indefinie.

Dans l'espace, a un systeme de trois relations singulieres, correspondent un ou plusieurs points que j'appelle modulaires, et cette representation possede des proprietes simples. Par exemple, pour qu'une classe de formes ternaires represente proprement un entier, il faut et il suffit que la surface associee a 1'entier (n° 60) contienne le ou les points associes a la classe; de meme pour qu'une classe ternaire puisse representer une classe binaire, il faut et il suffit que les points associes a la premiere soient sur la courbe associee a la seconde.

OtUVRES DE GEORGES HUMBERT.

On voit par la combien cette representation geomctrique est intimement liee aux proprietes des formes quadratiques, et quel interet il y aurait a en developper l'etude.