II. — D6veloppement d'une m6thode d'Hermite

62. Tous les Geometres ont lu et admire la celebre Lettre d'Hermite a Liouville ; l'illustre auteur, partant des fonetions theta elliptiques, y fait connaiire une methode relativement elementaire, qui lui permet d'etablir les resultats classiques de Kronecker sur les nombres de classes de formes quadratiques binaires et positives. 11 m'a semble que cette methode possedail une souplesse qui devait conduire a la decouverte de formules arithmetiques nouvelles, et j'ai consacre a son extension dans bien des sens de nombreuses recherches.

Les resultats les plus importants de ces travaux sont les suivants :

i° J'ai ajoute, aux formules de Kronecker, plusieurs formules des memes types; j'ai etabli d'autres relations enoncees sans demonstration par Liouville ou Stieltjes et j'en ai obtenu d'analogues.

•2° J'ai, dans ces questions, introduit, a cote du nombre des classes, eel u i de certaines representations d'un entier par une forme indefinie binaire; devance de quelques mois, a mon insu, par un analyste tcheque, M. Petr, j'ai neanmoins trouve, sur ce point, des resultats non compris dans les siens.

3° Le premier, j'ai fait figurer, dans des formules arithmetiques, les valeurs des trois minima d'une classe, e'est-a-dire celles des trois plus petits entiers representables proprement par la classe, et donne ainsi de nombreuses relations ou interviennent ces minima.

4° Utilisant, concurremment avec les idees d'Hermite, la transformation des fonetions elliptiques, j'ai, non seulement retrouve, mais etendu, les relations entre les nombres de classes que les Geometres allemands ont deduites de la multiplication complexe de la fonction modulaire liee au tetraedre; par exemple, si F(A) designe le nombre des classes de l'ordre propre qui ont A pour discriminant, etN un entier de la forme 3n — i, la somme

^F[N -(3ff±i)']

NOTICE SUK LES TUAVAOX SCtENTltlQUES DE GEORGES HUMBERT. 49

est egale au quart de la somme des diviseurs pairs, augmente de la moitie de celle des diviseurs impairs, de N : la somme porte sur Ics valeurs entieres, positives, nulles ou negatives, de t, telles cependant que la quantite sous le signe F soit positive.

5° De nouveaux developpements trigonometriques m'ont apportedes formules telles que celle-ci

2(-IrF[24N-(6,+ t)J]=-2;(^7;)^

au second membre, la parenthese est le symbole de Jacobi et la somme s'etend aux decompositions en facteurs 6N = dd,, avec d<^dt, d et d( etant de parites dill'erentes, et un seul etant multiple de 3.

G° J'ai montre que certaines sommes algebriques de minima s'expriment a l'aide de fonctions numeriques simples et classiques. Par exemple, si mK et m designenl, respectivement le premier minimum

impair et le minimum pair d'une classe, la somme^m((- i) * , etendue aux classes propres de discriminant 4N + 1, est egale a la somme

oil '^(A) designe la somme des diviseurs de A inferieurs a sa racine, plus la moitie de cette racine*si A est carre.

Ces proprietes rapprocbent les sommes de minima introduites de la fonction qui exprime le nombre de decompositions d'un enlier en sommes de cinq carres.

70 Dans un dernier Travail (93), j'introduis, dans I'application de la methode d'Hermite, une constante arbitraire, ce qui donne aux formules finales une portee bien plus grande, et ce qui permet meme d'y faire figurer une fonction arbitraire. En variant celle-ci, on deduit, d'une meme formule, des resultats, en apparence tres diftercnts, et que la methode directe n'aurait pas donnes ou n'aurait donnes qu'au prix de longs calculs; on y voit apparaitre, d'une maniere systematique, les minima des classes. Plus recemment, j'ai beaucoup developpe ces idees ; el les m'ont amcne a des consequences d'un ordre tout a fait

(EISVRCS UE G. IIUMBEKT, T. I.

Ol.fVRES DE GEORGES IIUMBEHT.

nouveau ct, en particulier, a des f'ormules oil n'interviennent que ceriaines des classes d'un discriminant donne. Par exemple, §{ A) etant le nombre des classes de discriminant A pour lesquclles le minimum pair et la somme des deux minima impairs sont divisibles par un nombre impair donne, p, et N un entier donne positif, on a

2(-iyrf(4|»N-Jp»-4r») = (-i)^2^

au premier membre, r prend les valeurs positives non multiples de p, telles que 4/>N — p- — t\r- soit positif; au second, la somme porte sur les decompositions en facteurs 4pN — pr = dd{ , oil d < d, ; d divisible et dt non divisible par/).