NOTICE SUR LES TRAVAUX SCIENTIITQTES DE GEORGES HUMBERT. D I

proposees : ces methodes, toutefois, ont l'inconvenient do ne pas fournirsous une forme explicite les conditions necessaires et suffisantcs clierchees; le theoreme general suivant, conclusion de mon etude, parait remplir le but assez simplement.

Soient :

f\x, y) — o, I' equation d 'une courbe algebrique de genre p ; o(x, y), une fonction rationnelle de x, y;

G, , G2, . . . , G„, p integrates abeliennes de premiere espece dislincles ; Hn H2, Hp, p integrates de deuxieme espece distinctes, apparlcnanl a la courbe ;

Pour que V integrate J o(x, y)dx se reduise a une fonction rationnelle

de x, y, it faut el it suffit :

i° Que cette integrate n ait pas de periode polaire;

2° Que la somme des periodes polaires de chacune des integrates

j'y(jc, y) Gi(x) dx soit nulle;

3° Que la somme des periodes polaires de chacune des integrates

J" ©(a?, y) H,-(a?) dx soit egalement nulle.

II est interessant d'observer que si Ton suppose 1'integrale

J cp ( x, r ) dx

decomposer en integrales de premiere, deuxieme et troisieme especes : Les conditions i° expriment que les integrales de troisieme espece disparaissent;

Les conditions 2°, que les integrales de deuxieme espece se reduisent a une fonction rationnelle;

Les conditions 3°, que les integrales de premiere espece disparaissent a lour tour.

SUR

These d'Analysc.