INTRODUCTION

Clebsch a fait voir que les coordonnees des points d'une courbe de genre un s'expriment en fonction rationnelle d'un parametre et d'un radical portant sur un polynome du quatrieme degre de ce parametre; ou encore, n etant le degre de la courbe, x er y les coordonnees d'un de ses points, qu'on peut ecrire

(a) *■ = ?(*), y = <KO,

cp et ■]/ etant deux fonctions doublement periodiques d'ordre n du parametre l, ayant memes periodes et memes infinis.

Le present travail a pour but l'etude des courbes de genre un en partant de ce mode de representation.

A ce sujet, les deux premieres questions qui se posent sont les suivantes :

I. Toute courbe dont les coordonnees des points sont des fonctions doublement periodiques d'un parametre esl-elle de genre un ? Quel est son degre ?

II. La representation parametrique d'une telle courbe etant donnee, en deduirc son equation .

Ce dernier probleme revient a eliminer t entre les equations (a); il a ete resolu par M. Hermite pour le cas oil les fonctions doublement

oi-:u vises nr. geohges mi atheist.

periodiques donnees sont du troisieme ordre, mais la methode, appliquee a des fonctions d'ordre n, conduit, entre x et y, a une equation de degre in — 3 et non de degre n.

On peut egalement, etant donnee la representation pararnetrique de la courbe, chercher a :

III. En deduire I 'equation de la courbe de degre n — 3 adjointe a la proposee, c'est-d-dire de la courbe de degre n — 3 qui passe par les

points doubles de la courbe de degre n et de genre un donnee.

En deduire egalement Vequation generate des courbes adjointes de degre n — 2.

Ce sont ces trois questions que nous nous sommes propose de resoudre dans la premiere Partie de ce travail. A cet effet, nous avons employe une representation pararnetrique nouvelle, en coordonnees homogenes, ou ne figurent que des sommes de fonctions 0.

Ces fonctions 0 sont liees par des relations homogenes du second degre, d'oii se deduisent des equations que nous avons appelees fonda/nentales, et dont la consideration resout les trois problemes poses plus haut.

On termine la premiere Partie par l'exposition de quelques consequences geometriques, deduites d'identites algebriques qui se presented naturellement au cours des calculs.

Dans la deuxieme Partie, on traite de l'intersection d'une courbe de genre un et d'une courbe algebrique quelconque, adjointe ou non adjointe a la premiere; on retrouve les resultats donnes par Clebsch au sujet des courbes de contact, c'est-a-dire des courbes qui passent par un certain nombre de points fixes de la proposee et ont avec elle en tous leurs autres points de rencontre un contact d'ordre donne ; on etend ces resultats, qui ne se rapportaient qu'aux proprietes des systemes de points de contact, en donnant la forme de l'equation generale des courbes de contact, d'ou Ton peut deduire des proprietes de ces courbes elles-memes.

Dans la troisieme et derniere Partie, on definit les systemes de points

SDK LES COUnUES DE <1ENHE UN.

conjugues et les correspondances sur une courbe de genre un, et Ton donne des proprietes geometriques de ces systemes de points.

Enfin on applique a la courbe du quatrieme degre a deux points doubles les resultats obtenus pour la courbe generale du premier genre.

Les questions examinees dans la premiere Partie n'ont pas encore ete resolues, a notre connaissance ; dans la deuxieme Partie, on nous permettra de signaler Interpretation geometrique de chacune des equations etablies par Clebsch (n° 48) et dont l'ensemble exprime que mn points d'une courbe de genre un et de degre n sont sur une courbe de degre m; nous appellerons egalement l'attention sur la solution du probleme suivant :

Soit

Din = 2 /,-, + k3 -+- r±li -+-. . . + rt/ lq.

Trouver ['equation generale des courbes de degre m, qui passent par ki points doubles et k.2 points simples donnes sur une courbe de degre n et de genre un, et qui ont avec cette courbe en lj points, dont les arguments ont une somme donnee, un contact d'ordre n— i (/ = i , 2, . . . , q).

La forme trouvee pour cette equation generale conduit a de nombreuses consequences geometriques; elle serf, en outre, a etablir les theoremes principaux demontres dans la troisieme Partie.

Parmi ces theoremes nous signalerons ceux qui sont relatifs a la courbe enveloppe des droites joignant deux points conjugues (nos 80 et 81), a la position de ces points sur la droite qui les joint (nos 82 et 83) et l'application de ces resultats aux courbes du cinquieme degre.

La theorie des courbes du quatrieme degre a deux points doubles renferme un certain nombre de propositions bien connues, mais dont la demonstration, a l'aide des fonctions 0, est peut-etre nouvelle ; plusieurs proprietes du centre d'une cyclique (nos 116 a 124) ne nous paraissent pas avoir encore ete donnees; il en est de meme du theoreme du n° 127 sur les eycliques homofocales, qui entraine de nombreuses consequences; des propositions des nos 135 a 141 completant la theorie des points conjugues, et de celles des nos 154 a 160 relatives a Pintersection d'une cyclique et d'un cercle.

Nous avons eu souvent a consulter, pour la redaction de ce travail.

otuvRfis ni? oEoncfis Humbert.

les Memoires bien connus de Clebsch, publies an Journal de Crelle (t. 63 et 64), les herons sur la Geometrie, du meme auteur, la these du P. d'EscIaibes sur les courbes du premier genre, et TOuvrage de M. Darboux Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algebriqucs.