I. — Theoremes gen6raux
1. Soit une fonction f(t), holomorphe dans tout le plan etsatisfaisant aux relations
iizt ... (i) '
ou n designe un entier positif, w et co' des quantites arbitraires, telles
que le coefficient de \J — i dans le rapport — soit positif. On peut poser
m = — oo
tion Iineaire et homogene des n f'onctions
et la relation (2) montre que Am = km n. La fonction f(i) est done fonclogene des n /, = +-.
An-t- 71 h 2 1 An + 1) ■
^ (/,7i)-;iT H2(A'rt
11 n'existc entre ces fonctions, d'apres la forme meme de leurs develop-
SUR LES COURBES nE fJENRE UN.
pements, aucune relation lineaire et homogene. Nous allons les remplacer par de nouvelles fonctions, d'expression plus simple, jouissant des memes proprietes.
Soit 03(/) la fonction
p etant un entier quelconque; on a
c'est-a-dire
(\ ' /'7T /It
«+jB^)=e?TR1(0 + /';rRs(i) + -.. + e "~ T R„- . (0 + R« (0-
En donnant a p les valeurs o, i, — i, on obtient n equations de
cette forme, d'ou Ton deduira les expressions de R,(/), . .., R„(0 on fonction lineaire et homogene de 0.,(/), 04 -+- (n — i)^J> si Ic determinant
n'est pas nul.
Or, en posant
•! ( n — 1 I /' It
k (n — 11 /it
2 in — 1 Wit
2/ it
2 i n — I) > It
ce determinant devient
c'est-a-dire lc produit des differences
(a/, — ay); k,J = i,
oil vr.KS l)E GEORGES HUMBERT.
Mais on ne pent avoir
Ot/, — CXj — o
que si
/.• — /=o (mod/?),
relation impossible, puisque X- et j sont inferieurs a /z.
On exprimera done R, (t), . . . , R„(*) en fonction lineaire ethomogene de 0.,u), 83. t-\-(n — 1)- » et, comrne il n'existe pas de relation
lineaire ethomogene entre R,, Rn, il n'existera aucune relation de celte nature entre les nouvelles fonctions. Do la resulte le theoreme suivant :
2. Theoreme 1. — Toute fonction f{t), holomorphc dans tout le plan et verifiant les relations
iITt . (1)'
f(t+ nu')=/(t)e"i"~~n
s'exprime lineairement en fonction des n fonctions P,(t), Vn(t), definies par V equation
Il nexisle entre ces n fonctions aucunc relation lineaire et homogene. Elles satisfont aux relations
PA(f+0>) =P/.(0,
1 i'u [c + oj ) = ridi },
j Pk(l + «m') = P*(0«"!
\ Pk(t -t-o)') =Vk(t)e~~S
iTZI .to' , ITZ
iTC —2 A — 1| —
3. Theoreme II. — Toute fonction lineaire et homo gene de P, , P2, . . . , P„ a n zeros dans le par allelo gramme to, n to' ; la somme de ces zeros est
-(G) + /Id) ) ,
a des multiples pres de to, nto' .
Car cette fonction divisee par P,(t) devient une fonction doublement
SUR LES COURBES DE GENRE L.N. Oi)
periodique, aux periodes o>, nw' [formules ( 3)J; ses n infinis sont les n zeros de 1\, dans le parallelogramme to, rcto', e'csl-a-tlire les quantites
^(ci) + w'), ^ (d) + ',)') 4- - ( w + &)') -4- (« — »)&>',
dont la somme est
Dans ce qui suit, lorsque nous parlerons ties « zeros d'un'e tonction lineaire et homogene! tie P,. P„, il s'agira ties zeros de cette fonction, compris dans un meme parallelogramme to, nco'.
4. Thkoiikme III. — // exisle (n — /■) fonctions lineaires et homogenes de Pn . . . , Pn s'annulant pour k valeurs donnees de t(t{, t.,, . . . , ZA), et lineairernent independantes ; toute autre fonction lineaire et homogene rfeP,, . . . , Pn, ayant les zeros (.,, . . . , tk, sera une fonction lineaire et homogene de celles-la.
Si Ton ecrit, en effet, que la fonction
/(0 — o, P, + . . .+ ak P/,4-. .. + a„V„
s'annule pour t = tt, tk, on obt.ient k equations lineaires et homogenes entre les conslantes aK, an\ Si ces k equations sont distinctes, elles permettent d'exprimer k de ces constantes, par exemple an a.,, ak en fonction lineaire et homogene tie ak+f,
On a ainsi
/( 0 = ak+l ( PA+1 + X, P, + . . . + h, P, ) 4- . . . + a„ ( P„ + ffj P» + . . . + **P*) ; f(t) est done fonction lineaire et homogene ties n — k fonctions
i PA+l + >,P1 + ...-+X*PA,
f P„ +er1PI + ... + tf*l,*l
qui s'annulent pour t — t,, t2, . .., tk et sont lineairernent independantes, puisque chacune d'elles contient une fonction Py qui ne figure pas dans Texpression des autres.
OF.tJVnfeS Dt tjEORfcES HUMBERT.
Si les /• equations qui lient a,, a.,, . . . , an sc reduisent a un nombrc nioindre, k — 1 par excmple, on exprimcra k — i de ces constantes en fonction lineaire et homogene des (n — k -+- i) autres, et Ton aura
f{l) = a, [ I>, + A, P, + . . . + PA., ]+...+ an [ P„ + dt, P, + ... + P*,].
Cette fonction s'annulant quels que soient ak, an pour t = ...,tk, on pourra toujours choisir les (n — k 1) constantes ak, an de facon qu'elle s'annule pour n — k valeurs de /, choisies arbitrairement ; on aurait ainsi forme une fonction lineaire et homogene de P,, P„ ayant n zeros de somme quelconque, ce qui est absurde.
La premiere hypothese est done seule admissible, et le theoreme est demontre.
