Remarque. — Soient $2(0, •••» ^»-*(0 Ies n — 1{ fonc
tions (F) qu'on vient de former, et 9?«-w-a(0 une fonction lineaire et homogene de P,, P„ quelconque, s'annulant pour les valeurs t, , t2, . . . , tk de la variable, la valeur exceptee. II existe evidemment une infinite de fonctions satisfaisant a ces conditions.
Je dis qu'il n'existe aucune relation de la forme
car, si une pareille relation existait, on en deduirait, en faisant I — tif
<x„+i-k(£n+i-k(ti) = o.
ce qui entraine, puisque la fonction ne s'annule pas
pour t = th
On aurait ainsi
et, par suite, puisque les fonctions (\\, . . . , sont lineairement independantes,
On peut done former n fonctions (Pn lineaires et homogenes de
P,, P„ lineairement independantes, et satisfaisant aux conditions suivantes :
Les n — k premieres . . . , (X\t k s'annulent pour t—t{, . .., lk.
La fonclion c£ni-i-k s'annule pour
t r— tt, . .., ti+i, tk («=I,,2, . . ., k).
Des theoremes II et III resulte la proposition suivante :
6. Theoreme IV. — Etant donnes, dans un par allelo gramme co, nio' , n points dont les arguments onl pour sommej{bi -+- nco') a des multiples pres de to, no/, on pent formpr une et une seule fonction lineaire el homogene deVn . . . , P„ s'annulant en ces n points.
7. Theoreme V. — Deux fonctions P nont pas de zero commun. Car les zeros de PAh, (^) sont, dans un parallelograinme w, no*',
Pour que PA+,(/) et PA-+1(*) eussent un zero commun, il faudrait que
- ( w 4- w ) — A' - -t- /(to' = - (to + — A-' — -t- A'w' 4- pw 4- /ip'eo', 2 n 2 « r 1
p et p' etant entiers, ou
"(A-'— /c) = w'(/i'— /i) + pco + npV.
Le rapport — etant imaginaire, cette relation entraine les deux suivantes :
k' — k = np , h — h' — n p'.
k et k' etant inferieurs a n, on aura k = k', et les deux fonctions Pa+i sont identiques.
8. Theoreme VI. — Enlre (n -+- i) fonctions, ft (/), . . ., holomorphes dans tout le plan et satis faisant aux iclations
/(fH-») -f(t),
ow n es/ «/i entier positif, h une constante quelconque, Q' a> ofcj quantites
telles que le coefficient de \j — i, </a/w le quotient — > positif, il exisle
une relation lineaire et homogene.
62 OKU \ RES DK GEORGES HUMBERT.
Posons, en effet, A designant une constante; on a
iTZt , in).
— In It — In
Si X est tel que
/J + 2 /It 7T — = If I 7T — >
Co a
les -f- i) fonctions verifient Ies relations (i) et (2) et sont fonctions lineaires et homogenes de P, , . . ., P„. II existe done entre elles une relation lineaire et homogene et la meme relation subsiste entre les fonctions/, (z), ...,/„+,(*)•
II. — Expression des coordonnees des points d'une courbe de genre un.
9. Le P. d'Esclaibes a mis les coordonnees des points d'une courbe quelconque, de genre un et de degre n, sous la forme
, -^H(/,-«,)...H(<,-«„) H{ti — yi)...H(z,— ym)
y~ ' H^-yO-.-HK-y,,)'
et ill) sont' des constantes; on a, de plus,
1 «, + as + . . . + «„ = y, + . . . -t- y„-t- 2 A K -+- 2/1' «'k',
H(z) est la fonction ordinaire de Jacobi; A, A', A,, A', sont des entiers; x et y sont des fonctions doublement periodiques de tn aux periodes 2K etai'K' ^).
( ') d'Esci.aihes, These, p. 19 et 28.
Pour transformer ces expressions, posons
0 etant une constante.
Les /? zeros tlu denominateur de x sont
Nous choisirons 0 de facon que leur somme soit^(a> + nw'), c'esta-dire qu'on ait
(5 bis) •/, -4- . . . ■+- yn — n Q — '- ( w + 7i
On pourra, par suite (theoreme IV), former une fonction
ayant ces n zeros.
Les zeros du numerateur de x sont a, — 0, a2 — 0, . . ., an — 0; en tenant compte des relations (5) et (5 bis), on trouve, pour leur somme,
a, — B + a.>— 9 -+-. . .-t- a„— 9 = -(&) -+- /tw +
et, par suite, on peut former une fonction
A'1P1(0 + ...+ A',lP„(0
admettant ces n zeros.
La fonction
A;p,-4-.., + A//;1p„-, + A;/prt
admet, d'apres les formules (3), les periodes co, rca/ ou 2K et 2iK', comme la fonction x(t); elle a, de plus, memes zeros et memes infinis que cette fonction, dont elle ne differe, par suite, que par un facteur constant. On a ainsi
*(C1P, + ...-t-C„P„) = A1P1 + ... + A„Pn
et, de meme,
^(C1P1 + ...-HCBPB)=B1P1 + ...4-B„P/n A,, . .., A„; B,, . . ., B„; C,, . . ., C„ etant des constantes. En coordonnees
homogenes, on pourra done meltre les coordonnees des points d'une courbe de genre un et de degre n sous la forme
( o-, = A,P,-t-. . .4- A„P„, (6) rr2=B1P1 + ... + B,1P)1)
Si Ton change t en / -+- to, ou en t -+- on retrouve [formules (3)J les memes valeurs proportionnelles de cc,, x.,, x3 et, par suite, le meme point de la courbe.
10. Inversement , soit S une courbe representee par des equations de la forme (6), ou A,, C„ designent des constantes arbitraires.
La courbe S est algebrique, car il existe une relation algebrique entre
les deux fonctions ^r(t) et — 3(0» (Iue nous designerons respectivement
par X(if) et Y(z), qui sont doublement periodiques aux memes periodes co, «oj'; de plus, il est clair que la courbe S ne sauraitse decomposer en deux courbes algebriques difierentes.
La courbe S est, en general, de degre /?, car une droite quclconque
aj j?i -+- aixi-sr a6x3 — o la coupe en des points dont les arguments verifient l'equation
Cette equation ayant (th. II) n zeros, tK, i2, tn dans tout parallelogramme w, nw', il y aura, en general, n points d'intersection de la droite et de la courbe : celle-ci sera done de degre n. 11 n'existera que deux cas d'exception :
i° A un ou plusieurs des arguments tn ne correspond aucun
point de la courbe S; en d'autres termes, on aura, par exemple,
En ce cas, a\ (t), x.2(i), x3(t) ont un ou plusieurs zeros communs.
'2° A deux ou plusieurs arguments tif f2, correspond le meme
point de la courbe; on a, par exemple,
Sur Li;s cotJRBlis dE gEnrE UN.
En considerant une autre droite, on obtiendra des relations analogues, de sorte que Ton aura pour une infinite do systemes de valeurs dc a et de (3 comprises dans un lneme parallelogramme co, /«w'
[3 etant different de a.
Je dis que dans ce cas la courbe S est une courbe de degre infericur a n comptee plusieurs fois, e'est-k-dire qu'a tout point de cctte courbe correspondent deux ou plusieurs valeurs de l'argument t; ou que, etant donnee dans un parallelogramme co, tkm', une valeur quelconque de a, on trouvcra dans ce parallelogramme une ou plusieurs valeurs dc (3, differentes de a, telles que les equations (7) soient vcrifiees.
Soit, en effet, (3 une fonetion d'une variable v. definie par la relation
Posons
A une valeur de a correspondent, rn etant l'ordrc de la fonction doublement periodique aux periodes w, /ico', X(/), m series de valeurs de [3,
a + + /i/i'a)', (3[ -+- h d) ■+- nh' co', (3Wi, + h co co',
h et h' etant des enticrs quelconques, et par suite m valeurs de U(a).
Or nous verrons plus loin (n°30) que la fonction [3 a dans un parallelogramme co, nto' un nombre limite de points critiques, et que, si la variable a tourne autour d'un de ces points, les m series de valeurs de la fonction [3 en ce point se permutent entre olios. II en resulto que les m valeurs dc U(a) sont egalement permutees entre elles, et des lors toute fonction symetrique de ces valeurs est fonction monodromc de a dans tout le plan.
Si l'on augmente a d'une periode (co ou «to'), 1'equation
qui definit [3, ne change pas ; par consequent, l'ensemble des m valeurs de U(a) ne change pas, et les fonctions symetrkjues de ces valeurs demeurent invariables : cllos sont, par suite, fonclions doublement periodi(jues de a, et U(a) satisfait a une relation de la forme
diUVnES 1)1J G. IIU.MUEHT, T. I.
oil A(a), N(a) sont des fonctions doublement periodiques de a, aux periodes w, n co'.
Remarquons maiiitenant que 1'equation
X(f3) = X(a) donne pour (3 la serie de valeurs
a + Aw + nh'di'
auxquelles correspond pour U(a) la valeur zero. On a done
et 1'equation en U devient, en supprimant Le facteur U,
(U) D'"-14-A(«)UOT-2 + ... + M(a) = o.
Or, par hypothesc, on a, pour une infinite d^aleurs de a et de (3, comprises dans un meme parallelogrammc,
e'est-a-dire
II en resulte que la fonction doublement periodique M(a) s'annule pour une infinite de valeurs de a comprises dans un meme parallelogrammc co, «w' : ell e est, par suite, identiquementnulle, et 1'equation (U) a, quel que soit a, une racine nulle.
On peut done, quel que soit oc, trouver dans un parallelogramme co, nco', une valeur au moins de ,3, differente de a, telle que Ton ait a la fois
H. On peut done enoncer les resultats suivants :
i° Si les fonctions x.2(t), xA(t) n'ont aucun zero commun et
si les equations (7) n'ont d'autres solutions communes en [6 que celles de la forme
a + Aw + /lA'w',
la courbe S est de degre n.
20 Si les fonctions x<(t), x2(t), x3(t) ont k zeros communs, les equations (7) n'ayant pas d'autres solutions communes en [3 que celles de la forme
a + /i co -+- nh'(x>', la courbe S est de degre n — h.
Car une droite
coupe cette courbe en n — k points, puisque les fonctions doublement periodiques X(;) et Y(t) sont d'ordre n — k et ont memes infinis.
3° Si les equations (7) ont d'autres solutions en (3 que celles de la forme
la courbe S sera une courbe de degre inferieur a n comptee plusieurs fois; nous dirons, dans cecas, que la courbe S n'est pas irreductible.
