III. — Relations du second degre

12. Avant d'aller plus loin, nous allons etudier et former les relations du second degre qui lient les fonctions P, (t), . . ., Pre(0-

Nommons poids d'un produit Pk+I (t) P/,,+1(z) la somme k-hk', ou plutot le reste de la division de k -+- k! par n.

Theoreme. — Entre trois fonctions PA+I PA,+1 de meme poids existe une relation lineaire et homo gene.

On a, en effet [equation (3)],

P*+1(/ + w) PA-+1(< + w) =PA+1(OP*'+i(0>

iH I i TCCi)' ITT

P*+i(« + «')P*'+i(«-H»') = I>*4-i(OP*+i(Oe'" w~ + 'V,

et -+- /</) etant le meme, a des multiples pres de n, pour trois produits de meme poids, le theoreme est demontre (theoreme VI).

13. Theoreme. — Toute relation lineaire et homo gene entre des fonctions du second degre enPt, P2, . . ., Prt, respectivement de poids p, p' , p" , . . ., <P/» • • • cntraine les conditions

tp,,= o, cp^'=o, ?p» = o>

Supposons, en efl'et, qu'on ait

( 8' ) o = a,, ®p 4- «y <fy + <p/V, + . . . ,

... etant des constantes.

Changeons, dans cette equation, I en t -+- co' ; elle devient, en vertu des equations (8),

(9) o^a^e " " -\-ap,<Bp>e " —

G8 OEUVHES DE GKORGES HUMBERT.

Les exponentielles e " , e " , ... ont des valeurs differentes, puisque /;,//, ... sont differents et inferieurs a «; si done on elimine cp,, entre les relations (8') 01(9), o yp., ... ne disparaitront pas dans l'equalion ainsi obtenue

o = bp, (dp- 4- £y qy 4-

En changcant / en / 4- co', on obticnt une equation de meme forme, etsi entre celte equation et la precedente on elimine cy, les fonctions <p/;„, ... ne disparaissent pas dans I'equation nouvelle

O = Cp» <Dp» -+-

Continuant ainsi, on arrive a une derniere equation

d'oii, en remontant de proche en proche, on deduit

■ vi ay-=o, Qp,— o, 9p=o.

14. Toutes les relations du second degre entre P,, . .., P„ s'obtiendront done en formant les relations qui lient les produits P/fPA,de meme poids. On les formera de la maniere suivante :

i° Cos de n impair : n = 2v 4- 1 . — Les carres P2, P2, P2 sont de poids difl'erents; car, pour que deux d'entreeux fussent de meme poids, il faudrait que

2/,- = 2 k' [mod (2 v 4- 1)]

k — k' = 0 [mod (2v -+- 1)],

ce qui est impossible, puisque k et k' varient entre o et av. On formera le Tableau suivant :

Fonctions concspoiK

lanles.