VI* V

Pi Pav+r

Pv+2 Pv+3

P2V+1 Pi

Pv+2

p, Pi

p2 Pi

SUn LES COURBES DE GENRE UN. DO,

II est manifeste que chaque ligne renferme v -f- i fonctions. Cela pose, en vertu du theoreme du n° 12, il existe entrc trois fonctions de meme poids une relation lineaire et homogene

(10) AP/c+1fV+i + BP/I+1PA,+1 + CP/+1lV-n= o.

Aucun des coefficients A, B, G n'est nul; car, si par exemple A etait nul, P/+l et P/i+, ou P/t.+, auraient un zero commun, ce qui est impossible (theoreme V).

' On pourra done exprimer v — i des fonctions de chaque ligne en fonclion lineaire et homogene des deux autres, ce qui donnera v — 1 equations de la forme (10); toute relation du second degre de poids k -+- k' est evidemment une combinaison lineaire de celles-la.

Commeily asv + i lignes, on aen tout(av ~h i)(v — i)ou ^n(n — 3) relations du second degre.

Les premiers membres de ces relations sont lineairement independants, car chacun d'eux renferme un produit P;Py qui n'entre pas dans les autres.

2° Cas de n pair : n = 2v. — On formera le Tableau :

Poids.

Fonctions correspondantes.

P3P2V-1 • • • • • • PvPv+2

PvVi

P3 Psv-m

Pv+t

Pv-t-l Pv— 1

Pfy

Pv+2 Pv-t-1

Pa P2

P.Pi

Pv-t-3 Pv + 2

Pv-i-i Pv

Pi Psv

Dans les lignes de poids pairs, il y a v -+- 1 elements, et dans celles de poids impairs, v; on aura en tout, puisqu'il y a v lignes de poids pairs

et v de poids impairs, v(v — 1) -+- v(v — 2) relations ou ^ n(n — 3) relations homogenes et du second degre en P(, . . ., P,t.

14 bis. Ainsi, quel que soit/i, il y a entre P,, . . ., P„, ^ n(n — 3) relations homogenes du second degre ; il n'existe entre les premiers membres de ces relations aucune relation lineaire et homogene identique; enfin,

toute relation du second degre en P,, P„ est une combinaison lineaire de celles-la.