Revenons a la courbe S definie par les relations

(6) )x.2=BiPl + + B„P„,

f xi=ClPl + + C„P„.

S'il n'existe entre x{, x2, x3 aucune relation lineaire et homogene (auquel cas la courbe S serait une droite), on peut former (n — 3) functions lineaires et homogenes de P,, P„ que Ton designera par xi} xs, xn, telles qu'il n'y ait pas de relation lineaire et homogene

C II t T G OC j < OC 2 * OC 2 9 OC • • • j OC •

Par consequent, on exprimera P,, Pre en fonction lineaire et homogene de x{, x2, . . ., xn, et si Ton porte ces valeurs de P(, . . ., P„

dans \es-n(n — 3) relations du second degre formees plus haut, on

obtient

equations de la forme

o = Auxl-+- Aiixltxs h-. . , + AM^+ «£, xk -+- . . . -f Xtxn + Qu

o = B^x; -h + Bnnxjt + 02x4 + ... + X, xn +-

O = Lu X'l + L43 XWX% + . . . + L„„ x\ ■+- <!>£ X,, 4- . . . 4- Xo-Tre .-f- &s- .

Dans ces equations, A44, A,5, . . ., knn, B44, . . ., B?m, L4i, . . ., Lnn sont des constantes; <!>, , . . ., X, , . . ., 3>8> • • •> X§ des polynomes homogenes du premier ordre ; Qt , i22, . . ., £2g des polynomes homogenes du second ordre g n oc j , oc 2 > oc ^ •

Les equations fondamentales (n) sont au nombre de *-n(n —3);

elles sont du premier degre par rapport aux *-n(n — 3) fonctions x*, xh xs, . . ., x\, x,,, xs, . . ., xn, qu'elles permettront d'cxprimer en fonction de xt , x2, x3.

Le determinant de ces equations est le polynome de degre (re — 3)

Au A43 ... A„„ ... X |

I>44 L45 . . . L/j,, <&o ... Xg

— A {xt, Xo, X3

Nous le designerons par A(.r,, x2, x3).

Dans le cas ou ce polynome n'est pas identiquement nul, on tirera des equations (n) l'expression de x\, xkx^, ...,xn sous la forme

/',.,/,5, -•■,f,in sont des polynomes de degre re — i; /,,, /„ des polynomes de degre re — 2 en <r, , ,x-2, a?3, qu'on obtient sous forme de determinants.

Restant encore dans le cas oil A n'est pas identiquement nul, on pourra remplacer le systeme d'equations (1 1) par le systeme suivant :

de -(re — 3) (-re — 2) des equations (11), on tirera les expressions des

- (re — 3) (re — 2) fonctions x\, x,,xs, . . ., x\, sous la forme

x\ — <pia?4 -+- tyy&s-h. . . -+- y^xn-\- w,,

x^Xf,— y2x,t 4- + w2,

\ xh —■ 9 (n — 2i (n— 3) #4 + -+-....

Cettc resolution sera toujours possible, car, A n'etant pas identiquement nul, l'un au moins des determinants mineurs dont les lignes sont formees par les coefficients de x\, x,,x5, x\ dans une meme equation (1 1) n'est pas nul.

Portant ces valeurs de x\, x\ dans les (re — 3) autres equa- t tions (1 1), on obtient (re — 3) relations de la forme

niiXi, -+- nlxi-{-. . .+ qxxn — px — o, m2xk ■+■ -i-q-iXn —pi =0,

/»„3r4 + -+- gn 3xn— l>n-3= O.

Dans ces relations, <p,-, tyif . . .,yh . . ., mh re,-, . . ., qt designent des poly-

0I;uVres Dii olionfiES iiuMuEut.

nomes du premier degre en x,, x.,, x3; w, et pt sont des polynomes du second degre.

Le determinant du systemc des equations (12) et (i3) est la fonction

m2 ii-i

mn 3 nn—3

fln-

II est egal a A(xt, x2, x3) a un facteur constant pres.