V. — Propri6t6s de la fonction A(.r,, x2, xA

16. Theoreme. — Le determinant A se repruduit a un facteur constant pres, si I' on prend pour xs, x5, ocn d'autres fonclions lineaires et homo genes r/eP,, PB que celles primitiveme.nl choisies.

Soient, en effet, x\, x',., x'n ces nouvelles fonctions; nous admettrons qu'il n'y a pas de relation lineaire et homogene entre x{, x2, x.s, x\, x'n. On pourra, par suite, exprimer xt, x5, xn en fonction

lineaire de 00 1 ^ • X 1) •) • X ^ y 00 , f • ■ ■ j 00 j

Xh — llXi -+- \2X2 + ^3^3 + ^i-^/, X6 — /JL, X^ -f- -+- \>-t>x': ■

(7,^! -+- a2x2->r . . . . + a^x r< -\- . . . -+- anxn.

Comme il n'existe pas de relation lineaire et homogene entre xitx2, x3, xif xn, le determinant

In

sera different de zero.

Portons maintenant les valeurs precedentes de x„ ...,xn dans les equations (n), il vient

AU(A,a7, + . . .-hl.x\-h. . .)2+ A45(^,^, + . . .) (JUL,^, + ...)+... + £, = O.

Si Ton ordonne ces -n(n — 3) equations par rapport a

et si Ton forme Ic determinant des coefficients de ces quantites, on voit aisement qu'on obtient le determinant A, multiplies par D" '.

17. Theorems. — Quand la conrbe S est de degre n, ta fonction A(a',, a-.,, x.t) nest pas idenliquement nulle.

Lemme. — On a vu plus haut que les premiers membres des ^n{n — 3) relations du second degre qui lient Pn P2, P„ sont lineairement independants; or, e'est en substituant a P,, P„ dans ces relations leurs valeurs en fonction de xt , a-,, qu'on a obtenu les equations (i i); il en resulte que les premiers membres de ces equations sont lineairement independants, et qu'on ne pourra jamais arriver a une identite en combinant lineairement leurs premiers membres.

Cela pose, supposons que la fonction A(xt, jr.,, x3) soit identiquement nulle; elle restera nulle si Ton y fait une substitution lineaire quelconque, telle que

x i = X', x\ -+- p.', x'.2 -+- v, x'3 , x2 — "k'2 x\ + . . . . , x3 — \'3 x\ + . . . . En resolvant ces relations par rapport a x\, x.,, x'3, il vient

QC \ — ")\ | OC^ -\- £A j CC 2 "4~ V j CC 3 , x'2 — \xl + [LiX^-V- VtX3,

x'3 — X8 Xi + fjL, x2 -+- v3 x3.

Nous choisirons les constantes X2, p.2, v2, X.,, pL3, v3 de facon que x'.,(t) et x'3(t), e'est-a-dire ~h.,x{ (/)-+-... et X3lr, (t) -h ... s'annulent pour une valeur a de On aura done

i o — \„xi(a) ■+■ u., xs(x) -+- v.2x3((x), (a.) \ ■

( o = /3^i(«) + F3^2(a) + v3.r3(ot).

Cela pose, remplacons dans les equations (11) x{, x.,, x3 par leurs valeurs en x\, x'.,, x3. Deux cas sont a distinguer si A(a?,, x.,, x3) est identiquement nul.

(A). Les determinants mineurs, dont les ligncs sont formees des coefficients dea^, x!tx-, x'j] dans une meme equation (n), ne sont pas tous nuls; en ce cas, eliminant x\, x\x,., x\ entre les equa-

~'\ OEUVUES DE (1EORGES HUMBERT.

tions (i i), on obtient (n — 3) equations de la forme (i3)

(i3) o = miXf+- nixs-\-. . .+ qixn — pi (1 = 1,2, n — 3),

mt, qt etant du premier degre Pi du second.

Le determinant A

qn 3

est, par hypothese, identiquement nul. Le determinant obtenu en remplaeant chaque element du precedent par le coefficient de x\ dans cet element est egalement nul, puisque c'est le coefficient du terme le plus eleve en xK dans A. On pourra done, en additionnant les premiers membres des relations (1 3), multiplies par des constantes convenables, faire disparaitre x\ des coefficients de xA, x5, xn dans I'equation ainsi obtenue. Cette equation sera des lors de la forme

(i3 bis) x'2(axk-\- . . . + lxn) -+- x'^ (a' xu-+- . . . -I- l'x„) = k\x'f -f- A2 x'g -+-....

Si Ton y fait t = a, il reste, puisque z<\(a.) = a;'3(a) = o,

Aj x'f (a) = o,

ce qui entraine une des conditions

x\ (a) = o, Ai= o.

Si <r',(a) est nul, on voit par les relations qui lient £p'2, que Ton aura x{ (a) = x2(v.) = #3(a) == o. Or a, etant une quantite arbitraire, pourra toujours etre choisie de fagon que ces dernieres egalites n'aient pas lieu. II faut done que A, soit nul, et I'equation (i3 bis) s'ecrira

(E) x[,(pxx\ + p2a?'2 + . • .+ pllxn) = x'3(p'ix\ + . . . + p'nxn),

p,, p'n etant des constantes.

Si x.,(t) et x'3(t) n'ont que le zero commun t = a, les (« — 1) zeros de x\ autres que a devront, en vertu de I'equation precedente, annuler la fonction p\x\ +...-+- pnxn. Cette fonction (theoreme III) sera done identique a x[2, a un facteur constant pres. De meme la fonction (p(^'j ■+- ?nxn) nc differera de x[ que par un facteur constant, et

l'equation (E) sera tie la forme

p etant une constante. II faudra necessairement que cette constante soit nulle; on trouve done une identite en combinant lineairement les relations (n), ce que nous savons etre impossible.

II faut done, pour que A puisse etre identiquement nul, que x[(t) etx'3(t) aient d'autres zeros communs que le zero a, et ceux de la forme

a + h to -+- nh' co'.

Soit (3 un de ces zeros communs. On aura

( o = X1*,(P)+fi,*s(P) + v1flk(P),

Mais les quantites A2, v3 ne sont assujetties qu'a satisfaire aux relations (a); les relations (a) et ((5) devront done etre identiques, et Ton aura

[3 — a n'etant ni nul, ni egal a un multiple des periodes to, no/.

Corame a a ete choisi arbitrairement, (3 sera fonetion de a, a moins que Ton n'ait

ar1(P) = a:,(|3) = ar,(P)-=o.

(B). Si tous les determinants mineurs dont on a parle plus haut (A) sont nuls, on obtiendra, par l'elimination de x*, xAx5, x~n entre les equations (n), n — 2 relations au moins de la forme (i3), et, en les combinant lineairement, on pourra former une equation telle que (i3 bis). On retombe ainsi dans le cas precedent, et les memes conclusions subsistent.

Par consequent :

La fonetion A( ) ne peut Hre identiquement nulle que dans

deux cas :

i° £«?,(£), x2(t), x3(t) ont un ou plusieurs zeros communs; 20 Etant touj ours poses X = — > Y = — > les deux equations

oi:u\ni;s Dfi geokces mjMBEti*.

ont, quel que soit a, d'autrcs solutions communes en ft que celles de la forme

a + h (>•> -t- nhfoi'.

En d'autres termes :

A(.r, , a?2, £P3) rce peut <Hre idenliqucmenl mil que si la courbe S nest pas de degre n.