VI. — Examen du cas general
19. Supposons maintenant que la courbe S definie par les equations (6) soit de degre n, ce qui est le cas general; nous allons, dans cette hypothese, former son equation, et les equations de courbes qui lui sont liees d'une maniere remarquable.
20. Equations de la courbe S. — Les relations (i i) nous ont donne les relations
on en deduit
fuh ft,* fin
Suit LeS COUttllES DK GEfiRfi tjN. . Jt}
Portant clans les relations (i3) ces valeurs dc
+ «//*S + • • • + qi/kn—Pifi — 0 (l t= I, 2, . . . , « — 3 ).
Les — 3) equations ainsi obtenues sont de degre dis qu'elles nc peuvent etre a la fois des identites.
Si toutes, en effet, ctaient des identites, on en deduirait identiquement
mn-3 ■ ■ (] n-3
'h qi
Pn-3
(Jn-3
, c'est-a-dire /44A=/^.
Par suite, (.r,, a?2, .r.t) serait divisible par A(.rn x2, ,r:i), et Ton aurait, quels que soient xx, a-.,, x3,
/4 = A ( li xi -+- 12 xt + X3 a?3 ),
etant des constantes. En particulier, remplacant dans cette relation a?n a72, par a-, (/), ic2(f), a'3(/), il viendrait
£cl{t) = lia;i(t) + X2a:2(/) + A3a?3(*).
relation impossible, puisque, par hypolhese, a?, (t), x2(l), xn(t) sont lineairement independants.
Par suite :
Une au moins des relations de degre n formees plus haut n'esl pas une identite; elle sera V equation de la courbe S.
Ce raisonnement souffre une exception si A se decompose en un produit de deux facteurs, dont 1'un entre au carre. Soit
P et Q etant des poLynomes de degres /> et y, avec
ip -+- q = n — 3 .
En ce cas, la relation
donne
j\= PQR = PV4,
78 orUVRES TIE GEORGES HUMBERT.
R et V4 etant des polynomes entiers; de meme, la relation
&fii=fkft (*'=5,6 n)
Si = PV,"
donnerait
Cela pose, on peut admettre, puisque x{(t), x2(t) etx3(t) n'ont pas de zero commun, qu'aucun des zeros de-r, (t) n'annule A[^r,(^),^2^),^.,(/)]; s'il en etait autrement, un changement lineaire de variables permettrait de rentrer dans cette hypothese.
Formons une fonction <p(t) de la forme
qui ait avec xs (t) (n — 2) zeros communs, les deuxderniers zeros 6tant difl'erents des deux derniers zeros dear, (z)(theoreme III); on a, d'apres les formules qui precedent,
a2x2PQ -+- a3.x3PQ + a4V4 + . . .+ anYn
PQ
Or la courbe o = a2x2VQ + ...+ a„V„ coupe la droite xs — o en n — 2 points situ6s stir S; son degre p + q-\-i est au plus egal a n — 3, puisque p est au moins egal a 1, et que ip + q — n — 3; il en resulte que cette courbe se decompose en une courbe H de degre p -+- q, et en une droite x{ = o ; on a aussi
*,(OH[>t(f )'-•■•]
Les deux derniers zeros de x,(t) n'annulant pas cp(/) doivent annuler PQ(0 ou A(t), ce qui est contraire a l'hypothese. La proposition est done generale.
L'equation de S peut, d'apres ce qui precede, s'obtenir immediatement en partant des relations (n), sous forme de determinant; on aura
ffl; Hj
'-'tin
<Ji
Pi . .
mh .. .,pt : s'obtiennent egalement de suite sous forme do determinants.
On a, par exemple,
etant pose
21. Tiieoreme. — La courbe donl V equation est A(xt , x.>, x3) = o a un point multiple d'ordre p — 1 en tout point multiple d'ordre p de S.
Admettons, pour fixer les idees, qu'il s'agisse d'un point triple de S, et soient a, (3, y les trois valeurs correspondantes du parametre t. On aura
^i((3) = a?, (ft) =1 xx(y) *Ay) ^>(y)
(en designant pour abreger par ~k la valeur des trois premiers rapports, par [j. celle des trois derniers). La courbe S etant supposee de degre n, les quantites xx(a), x2(ol), x3(<x.) ne sont pas nulles a la fois; soit, par exemple, a?4(a)^o.
Considerons les (n — 3) equations (i3)
{ jnlxlt + n,^5 + . . .•+- qxxn = pXl
et les fonctions
9,(0 = mx(a)xi(l) + nx(tx)xs(l) + . . .-+- ql{a)x,l(t),
?n-a(0 = »Wj(a)<%(0 + + y«-3(«)a;»(«)..
Les quantites w,(a), ... designent les valeurs que prennent les polynomes du premier degre mK (xt, x.2, x3)... quand on y remplace xK, x2, x3 par xx (a), x2(a.), x3(a.).
En vertu des relations (i3) et(i4), on voit que les fonctions fx , <p2, • .., ip„3 satisfont aux relations
cp,((3) <p,(f3)
8o OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
On en conclnt que les (n — 3) fonctions
^i(0 =*i(Oa?i(«) — ^,(/)cp,(a),
^«-a(0 = on-Al)x\(*) — Of «-*(«),
qui s'annulent pour t = a, s'annulcnt egalement pour t — $ et t — y. II en est evidcmment de meme [equations des deux fonctions
xi(t)xl (ct)<—xi (t)x,(x), xz{t)xi{ct) — Xi(t)xs,{et).
Par consequent (theoreme III), il existe entre ces deux fonctions et les n — 3 fonctions $t, $n 3 deux relations lineaires et homogenes, identiques en xK, x.2, xn.
Soit une de ces relations
o = a{Sx + rt2^2+ . . . + an .3 J„3
4- fl„2'[a;2(/)a?,(a) — xl(t)xi(cx)] + [^3(/).r1 (a) — a7:j(a).r,(f)] ;
xt eta?., ne figurent pas dans §{, $n 3 : on a done II reste
«» = «i[?i (')•*»(«) — ^i(0?i(«)] + • • • > ce qu'on peut ecrire
Cette equation, puisque <?,(0> ®n-3(t) ne renferment pas xt(t) et que a;, (a) n'est pas nul, entraine les suivantes :
Cette derniere comprend la precedente.
II existe done entre cp,, <pra 3 deux relations lineaires et homogenes, identiques en x,t, a?s, ...,.r„; en d'autres termes, si Ton sc reporte a l'expression des fonctions o, il faut que les determinants mineurs qu'on oblient en supprimant une ligne et une colonne quel-
SHU LES COURRES DE GENRE UN.
conques du determinant
m,(a) «i(a) ••• 71(a) d m2(oc)
soient nuls. Le determinant d sera egalcment nul.
On peutdonc trouver des constantes a, , an 3, dillerentes ensemble de zero, telles que Ton ait
a, /raj (a) + a2/i,(a) + . . . 4- a„„37i(a) =0, «! m,(«) •+• + an-s72(«)
Si a,, par exemple, n'est pas nul, on peut ecrire
-+- a2 /li -+- •
a, A (xux2,x3) —
. + oc„372
mn 3
d'ou, en ordonnant par rapport aux elements de la premiere colonne, (16) a, A = + . . .+ )<5,.
Or la fonction du premier deg
s'annule pour £ = a [equations (i.5 )j ; le determinant mineur 0, devient, pour t = a, un des determinants mineurs nuls de d; en d'autres termes, la droite
cx1m1-+-. . .+ a.n-3q^=- 0
et la courbe
6j (xltx2,x3 ) = o
passent par le point triple de S considere. II en resulte, par l'equation (16), que la courbe
A(aJi,.afj,ar8) = o passe par ce point, et y a un point double.
CEUVRES DE O. HUMBERT, T. I. 11
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