Les equations (i3) nous donnent x\, xn sous la forme

/, etant le determinant

Pi "i

/>2 /ij

qn-t

Je dis que les courbes ft — o, — /„ = o, qui sont d'ordre n — 2, ont un point multiple d'ordre p — 1 en tout point multiple d'ordre p de S. On peut, en elFct, ecrire fit en designant toujours par a, [3, y les valeurs de t correspondant a un point triple de S,

Pt — /i,^5(a)^, p2 — n2xs{ot)xl

qlxn(cx)xi nt <7j^„(a)x, n2

Pn—i n n— 3 x$ ( a ) 1

qn-%

#5(a), a?„(a) designant ce que deviennent les fonctions a?5, ... pour t = a; d'ou Ton tire

•27i(«)/>i — m1j?4(a)a;1 — «, x^(a)xi — . . . — q, xn ( a) a?, «, ... 7,

•a?i(a)/92 — m>xk (a)jr, — n.2^c5(a)^c, — ... — q1xll{a)xl n2 ... 72

( a )Pn-z— mn 3 x% ( a ) .r ,— — <7„„3 ( « ) x%

Ordonnons par rapport aux elements de la premiere colonne; il vient

(17) sBi(a)/i = Aasix^a) -+- 2[x](a)px — mlx.l{ct)x1 — . . . — qixn(a)xl]dl. Or les coniques

o = xl(a)pl — tn 1 Xi, ( a ) J' 1 — . . . — qlxn(tx)xi

passent par le point triple ; car, en faisant 1 = a dans les relations (i3), on trouvo

o =fi — m,(a)j74(a) — . . . — qx{a.)xn(v.).

Les courbes o, = o passent egalement par ce point, comme on l'a vu

plus haut ; il resulte done de la relation (i 7) que la courbe JA — o passe par le point triple considere ct y a un point double.