Les equations (12) donnent

x\—ylasiA-... + X\xH -+■ w,,

d'ou

a.*; =/» = <pi/t ■+-...+ 7j/« + wi A»

Par suite, les courbes de degre n — 1 , /4/1 = o, fkl = o, ...,Jnn=o passent par le point triple et y ont un point double.

Nous reviendrons plus loin sur les proprietes des courbes A = o, y4 z= o, fiA = o, qui sont, d'apres ce qui precede, des courbes adjointes de la courbe S.

Courbes du troisieme degre.

24. La theorie preeedente ne s'applique pas au cas de n = 3, puisque le nombre des relations du second degre entre les fonctions P est

— 3), e'est-a-dire zero.

En ce cas, les coordonnees des points de la courbe S etant de la forme

ar/sAvP^OTt-BiP^O + C/P.CO (/ = i,2,3),

on pourra, par une transformation lineaire, ramener ('expression des coordonnees a la forme

^ = Pi(0, ^ = P,(0, < = P3(0-

Or les quatre fonctions P'(/), Pj(0> PJ(*)» p<(0 ps(0 p;>(0 sat's" font aitx relations [equations (3)]

y(t -+- co) = cp(f)>

6 in I 3/ ltd)'

et sont, par suite, liees par une relation lineaire et homogene (theoreme VI). Cette relation, ne changeant pas quand on y remplace t

par t •+- ^5 ou / + , e'est-a-dire quand on change P, en P{+, ou Pt+2»

sera symetrique en P,, P2, P3 et sera d6s lors de la forme

P*+ P^-h P* — 6).P,P.2P3=o, "k etant une constante. L'equation de la courbe sera done

C'est la forme canonique de l'equation des courbes du troisieme ordre, sans points singuliers.