VII. — Examen des cas particuliers

25. Dans ce qui precede, nous avons suppose que la courbe S representee par les equations (0) etait de degre nous devons examiner maintenant les cas oil elle est de degre inferieur, et que nous avons mentionnes aux n° 10 et 11.

26. Premier cas. — Supposons que les trois fonctions oct(t), x.,((), xs(t) aient k zeros communs, sans que les equations

aient d'autres solutions communes que celles comprises dans laformule

+ nh' (*>'.

Pour que xt, x.2, cc.3 soient lineairement distinctes, il faudra (theoreme III) qu'on ait

kin — 3.

Dans cette hypothese, la courbe S etant coupee par une droite en // — k points distincts, sera de degre n — k, et irreductible. Nous choisirons, pour les n — k — 3 fonctions

des fonctions lineaires et homogenes de P,, . . P„ s'annulant pour les £valeurs«,, t.2, ik qui annulent simultanement xif cc2, a?3; et pour la fonction

une fonction lineaire de P4, P„ s'annulant pour les memes valeurs, la valeur it exceptee {Rem., n° 5).

Cela pose, si Ton fait successivement t—ts,t^ . . ., tk dans les relations (i i), on voit que les coefficients des termes en

xn-k+\i xli-k+n •••> xn

doivent etre nuls.

On en tire deux conclusions :

i° Le determinant A(x{, cc.,, x3) a k colonnes formees de zeros et, par suite, est identiquement nul;

2° En eliminant entre les ^ n(n — 3) relations (i i) les fonctions

X 4 ) X 5 1 • • • ? Xn 1 Xi XS> • • • 1 Xi XJ ( '» J 4 ) • • • 1 n)l

on obtiendra n — 3 -+- k relations de la forme

I o = m/^-H /i/aJB + . . .-+- A-fd7„A;-+- SiXn^k+x->r ^ar„A+2 + . . . + qtxn — pt

m-i, qL designent toujours des polynomes du premier degre en x,, Pi des polynomes du second degre. Les fonctions m,^4, n4-a75, <lixniPi admettent ; le zero double la fonction sixn-k+i exceptee, car et j?,, par exemple, s'annulent pour t = tK. II en resulte que sera zero double de sh et si Ton pose

on aura

o = a,x\ ( £j ) 4- (3/^'2 ( ) -+- yix'3 (I,);

et st sera de la forme

Si= a,

Les fonctions , s.,, . .., sn 3+k seront done fonctions lineaires et homogenes de deux d'entre elles; il en est de meme pour les fonctions

II resulte de la qu'on peut, en combinant lineairement trois des equations (22), obtenir une relation de meme forme ou xn k+i aura disparu, et former en tout (n -+- k 3) — 2 relations de cette nature.

Kn operant de meme sur xn k+2> . . ., xn t, on arrivera a

c'est-a-dire a // — i — k relations de la forme

(23) o = m'jXi-t- nljX% + >. . + r'jXn-k+ q'jx,,— p'j (/' = i, 2, ...,« — i — A),

et en eliminant xn de la meme maniere, a n — 3 — k relations de la forme

(24) o = iih&i+ vhx5-h. . .+ phxn k— mu (h — i, 2, . . . , n — 3 — k). Soit A' le determinant du deere n — 3 —

Je dis qu'il n'est pas nul. En effet, la courbe S etant de degre n — k, et irreductible, ce determinant ne peut etre nul que s'il est identiquement egal a zero. Je dis que cette hypothese est inadmissible.

Si, en effet, on l'admet, on en conclut, puisque scif . . ., xn k ont des valeurs finies, que les determinants obtenus en remplacant nne colonne de A' par la colonne trr,, gt2, . . .,ron s A sont aussi mils identiquement, et, par suite, qu'on pourra, en combinant lineairement les premiers membres des relations (24), faire disparaitre x, dans les coefficients de xfl, xn k, et x\ dans le second membre de 1'equation obtenue. On" aurait done unc relation de la forme

Xs{fiXt + . . .-+- ln-k &n-k ) = *3 (I'i&l . .+ l'n kxn^k).

Les (n — k) zeros de x2 autres que t.2, ...,tk annulent done la fonction {l\xt -\- . . l'n kxn k), car on peuttoujours choisirun triangle de reference qui n'ait aucun sommet sur la courbe S, de telle facon que x2(t) et x3(t) n'aient que les (n — k) zeros communs tlt l2, . . ., tk. Mais la fonction /', xK -+- . . . -+-J'n kxn k s'annule en meme temps que xK, xn k pour t — ts, . . ., tk; elle a done memes zeros que la fonction x2, et n'en difl'erera que par un facteur constant. En raisonnant de meme sur la fonction + on voit que la relation precedente serait de la forme

ce qui entraine L = o, et par suite une identite, resultat contraire au lemme du n° 17. Le determinant A' n'est done pas nul.

SUR LES COURBKS DE GENRK UN. 87

On tirera ainsi des relations (24) les valeurs dc x.lf . . ., xn k sous la forme

En les portant dans les relations (23), on pourra exprimerx„ en fonction de xt , x2, xa, a moins que les n — 1 — k 1'onctions q ■ ne soient nulles. Si ce cas se presentait, on pourrait, en combinant lineairement ces n — 1 ~- k relations (23), f'aire disparaitre x{ dans les coefficients de xh, ...,^ra Aet x\, dans le second membre de la relation obtenue, ce que nous savons etre impossible. On aura donca;n sous la forme

q etant du premier degre en xK, x.2, x3, et Ton trouvera des expressions analogues de xn, , xn-h+{ .

On peut done enoncer les resultats suivants :

27. Si xt, x2, x3 ont k zeros communs, sans que les equations

OC a OC n , . OC% , > OC % '

aient d'autres solutions communes en a que celles comprises dans la formule u = t -h A co -+- nh'di', la courbe S decrite par le point (x{, x2, x3) est de degre n — k; le determinant A est identiquement nul; de plus, toute fonction lineaire et homogene de V K(t), . Prt(0 s'exprime rationne dement en fonclion dexx(t), x2(t), x3(t).

28. Supposons que x{ (t), x2(t), x3 (1) aient ( n — 3) zeros communs : la courbe decrite par le point (x,, x.2, x3) sera du troisieme degre. Les

fonctions ^(0 et ^r(0 etant doublement periodiques, aux periodes co,

n^' , et d'ordre 3, pourront (n° 9) se mettre sous la forme

^2 /A *2II2+ 63II3 &3,,s C{Tl, •+- C,II2-+- C3II3

\l) — ~ n , . ti , . ti ' — (') —

xi a,n, + (7,n2+ «3n3 alnl-+- a2n2+«3n

a,, . . ., c3 etant des constantes, et ITy+) (J — o, 1,2) designant la fonc-

tion

ou 0 represente une constante.

Or II,, II2, IT, sont lies (n° 24) par la relation

n\ + ifs + n*— 6*11,11,113 = o

La courbe du troisieme degre decrite par le point (.r,,a;2,a;3) est done du genre 1.

De la resulte la determination du genre de S dans le cas general.

Genre de la courbe S.