Soit, en effet, une courbe S definie par les relations

a?1='A1P1(0+.-- + A»P»(Oi

et supposee de degre n. Designons par £2, £s trois fonctions lineaires et homogenes de P,, Pa ayant n — 3 zeros communs; la courbe S decrite par le point (<;,, £2, £3) est du troisieme degre et du genre un. Or on a, d'apres ce qui precede,

\i — fonction ralionnelle de xu x2, x%, Xi= fonction rationnelle de %u £2, £3.

Les deux courbes S et S' sont done de meme genre, d'apres le theoreme bien connu de Riemann, et, par suite, S est de genre un.

La courbe S, par le meme raisonnement, sera encore de genre un, quand a;, (t), zc2(t), oc3(t) auront des zeros communs, sans que les equations

aient d'autres solutions communes que celles comprises dans la formule

a — l + Aoj -+- nh' 00'.

En consequence :

La courbe S est de genre un toutes les fois quelle estirreductible.

SUU LES COURDES DK GENRE UN. , 8()

:}0. Second cas. — Supposons maintenant que les fonctions x{(t), x2 (t), x\(t) aient k zeros communs, et de plus que les deux equations

aient en u d'antres solutions communes que celles comprises dans la formule

a = t ■+■ ■+ nh' &)'.

Soit pose m = n — /c : les deux fonctions doublement periodiques, aux periodes o>, /?<o', X(t) et Y(z) sont d'ordre m.

La discussion qui va suivre nous conduira a distinguer deux cas, que nous examinerons separement des maintenant.

A. Les valeurs de u qui satisfont simultanement aux deux equations

sont de la forme

u = t + const.

En ce cas, les deux fonctions X(«) et Y(*)ont un systeme de periodes plus simple que le systeme co, «ol>'; soit co,, go, ce systeme, et soit m! l'ordre des deux fonctions, c'est-a-dire le nombre des infinis de ces fonctions, contenus dans un parallelogramme co,, oj'r

Si les equations X(w) = X(£), Y(u) = Y(/) n'ont d'autres solutions communes en u que celles de la forme

, U = t -+- /id)! -f- it' Ui\ ,

il resulte de ce qui precede que la courbe decrite par le point (i , X, Y) sera de degre m' et de genre un : sinon on retombera dans le cas que nous allons examiner maintenant.

B. Les equations X(«) = X(Z), Y(«) = Y(/) sont verifiees simultanement par des valeurs de u autres que celles de la forme

sans que les fonctions X(/) et Y(£) aient un systeme de periodes plus simples que le systeme to, nix>' .

L'equation X(u) = \(t) donne, pour toute valeur tinie de t, m series de valeurs de a

t ■+- h co -t- n h! co' , w, -+- h w -1- /i//'co', . ., Kw t + Aw + «A' &>',

Q5UVRES DE O. HUMBERT, T. t. 12

(ja oku Vitus dk <;f.oih;j:s humbkrt.

h el h' etanl des entiers quelconques. Les points critiques de la function u, definie par cette relation, sont donnes par ['equation

qui est verifiee, en general, [tour im series de valeurs de u

Ut + hv> -+- U2,„+ /if.) -+- nh' d .

Aux valeurs de « comprises dans une de ecs series correspondent, par l'equation X(m) = X(j), w series de valeurs de a

T, -+- h w + nh'to', T2-+- //6) + ?i/i'o)', ,

ce qui, en tout, donne \irri- points critiques dans tout parallelogramme des periodes. «

Supposons que la variable t arrivant a un de ces points, T,, la branche considered de la fonction, ait pour valeur un zero multiple, U, , d'ordre q, de l'equation. X(k) — X(f) ?= p.

Posant t — T, + 0, u = U, + v, cette equation devient

X"/) ( U, ) -h . . . = T XWT, ■+-...,