I . 2 . . . CJ I . 2 ... A
k etant un entier positil', non nul. Si p' est le plus grand commun di vise u r de q et de k, cette relation montre que les q branches de la fonction u, dont les valeurs sont U, au point T,, se partagent en/?' systemes, et que les branches d'un de ces systemes se permutent entre elles quand la variable tourne autour d'un point critique.
La derivee de la fonction u est donnee par l'equation
da X'(Q .
dt ~~ X' ( u ) '
elle n'a que m valeurs pour une valeur de t, et un certain nombre de ces valeurs s'echangent quand la variable tourne autour d'un point critique.
Si les deux equations X( u) = X{t),Y(u) = Y(t) ont, quel que soit/, des solutions communes en u, il faut que les deux fonctions u et u, definies par les relations
aient des branches communes : soient /, ut, ces branches. II
est clair que, si la variable part du point t et y revient, apres avoir decrit un chemin quelconque, les fonctions u{, u2, . .., up K devront reprendre les memos valeurs, a l'ordre pres, et a des multiples pres des periodes co, n co' ; et, par consequent, les derivees de ces fonctions, donnees par l'equation
du X'(u) dt ~~ X'(<) '
reprendront les memes valeurs, a l'ordre pres. II en resulte que la somme
du. du., ■ diin-,
dt dt dt
est fonction monodrome de t, dans tout le plan. Je dis qu'clle n'a pas de pole a distance finic ; car,aux environs d'un point quelconque i0, on peut, d'apres ce qui precede, developper uL en serie, sous la forme
'i li iH= uf + A (t — t0)'i-\- R ( t — tQ) 1 + ... ;
on a done, dans le domaine du point t0,
Or^ est posit if, ^ — i est done plus grand que — i, et ne renferme
pas de puissances entieres et negatives de (/ — tu). II en est, par suite, de meme de la somme
dui du2 dUp-\ dt dt ' ' ' dt
et, comme cette somme est monodrome, il ne subsistera, dans son developpement en serie, aux environs de t0, que des puissances entieres et non negatives de t — t0 : elle n'a done pas de pole a distance finie.
D'un autre cote, les relations X(u) = X(l), = Y(^) ne changent pas si 1'on augmente / d'une periode : si done la variable va du point t au point t -+- co, par un chemin quelconque, les fonctions .... reprennent les memes valeurs, a l'ordre pres, et a des multiples pres
92 OEUVRES DE CEORCiES HUMBERT •
de to, n<ot, etlesderivees-^> . . . reprennentles memes valeurs, al'ordre pres.
II en resulte que la fonction ^ +. . .+ admet les periodes to,
nto'. Comme elle n'a pas de pole a distance finie, c'est une constante, — A. On a done
-rr + -TT+...H -7— ■+- A = 0
at at at
Oil
II l -h + . . .+ ",,--,4- \t = C.
Pour determiner A, remarquons que les equations X(m) = X(^), Y(«) == Y(l) ne changent pas si I'on remplace t par ut(t), puisque X(m,) = X(«). En consequence, la variable allant du point t au point u, (t), par un cheniin quelconque, les fonctions u,(l), deviendront ut(i), ut[ut(t)], up t et devront reproduire,
a l'ordre pros et a des multiples pres des periodes, la serie de valeurs t, u{ (/), . . ., up{ (t). Si done on change t en u{ (t) dans la relation
on a
£ 4- tt2 -4- . . . + + A «i = C -+- 0) -t- /i f/., qi',
d'ou
(A — 0 ("i — 0 = ^ -+- "(Jti'-)',
et de meme
(A — i) ( f/s / ) = X 2 CO -I- /? JJljW'
(A— !)(«,,.,— 0 =^,a -+- nixp i(,)'.
Si A differe de i, on aura
(7A etant une constante : c'est l'hypothese examinee plus haut (A), et que nous avons ecartee. II faut done que Ton ait A — i = o, et il reste
t ~H «i + «j + . . uP-\ — C.
31 . Cela pose, soit a une valeur telle que les quantites a, u, (a), . . ., Op,.(a) soient diflerentes; d'apres ce qui precede, les quantites w,(a), u{ [it, (a)], . . ., up{ [u, (a) ] seront egalement differentes, et les points a, w,(a), . .., ur, (a) ne seront pas des points critiques de la fonction u.
Soit [3 une quantite analogue a a; considerons la fonction
0,(1 — ape, [MO — «]. . JJX\ «„,(<) — a]
91 ; e1(«-(J)e,[B1(0-P]...9i[«Ai(0 —
etant pose
Je dis que la fonction ,©(/) est monodrome. En elfet, si la variable part du point t et y revient apres avoir suivi un chemin quelconque, les fonctions u,, . .., se reproduisent a 1'ordre pres et a des multiples pres des periodes. On a ainsi, en designant par (uk,) ce que devient la fonction uk,,
( tip) — Aw + nh' as' ( k!\ i 2, . . . , p — i)
avec lcs conditions
lh=lh'=o,
puisque / + est constant. Le facteur
devient done
21 a — J"i| lit v . ,
et y(t) se reproduit multiplie par la quantite e , e'est-a-dire
l'unite. On voit de meme que <p(*) admet les periodes oj, nw'.
Dc meme, enfin, o(t) ne change pas, si Ton y remplace t par une des quantites ut(t), u.,(l), Uj,t(t).
Les zeros de <p(/) s'obtiendront evidemment en egalant a zero successivement les facteurs du numerateur. Soit, par exemple,
On en tire
m, ( t) = « -+- /ico 4- hh'w', et lcs relations X(-i/,) = X(r); Y(i/t) = Y(/) montrent que Ton aura X(0 = X(«), Y(0~ Y(a),
e'est-a-dire
J = »/,(a) + A « + nh'us',
I; ayant une des valeurs i , 2, — i .
f)4 OLUVRES DE GEORGES HUMBERT.
Lcs zeros de o(t) ne peuvcnt done etre que de la forme precedente. Inversement, toiite quantite de cetfo forme est zero simple de <o(i). Soit, par exemple, la quantite u,(a) : les quantites
reproduisent, a l'ordre pres et a des multiples pros dew, nto', les quantites
a, «,(«), up i(cc).
On a ainsi
et le facteur
s'annulera pour z = //, (a). Le point (a) n'etant pas un point critique, par hypothese, les quantites
sont differentes, et les facteurs du numerateur autres que 6((wp — a)ne s'annulent pas pour t — a, (a). La derivee de ce facteur ne s'annule pas non plus pour cetfe valour, car elle est egale a
or Gj jwp [«<'(«)] — a j, e'est-a-dire O',(o), n'est pas mil, et n'est pas
nul au point / = w,(a), puisque les valours de u sont differentes en cc point.
II resulte de la que les zeros de <p(£) sont, dans un parallelogramme des periodes, les quantites a, w,(a), ^((a); et ses infinis, les quantites 3, ((3). On a done, .4 etant une constante,
0,(^(3).. .©.[/-i/^O)] -Jl,Z(0'
Or, nous avons vu.plus haut que o(t) ne change pas quand on remplaceJ par Ui(t); il en est done de mome de Z(t), et Ton a
II en resulte que les p fonctions t, u^t), up,(t) sont, abstraction faite des multiples de w, nw', les zeros de la fonction de u : Z(m) — Z(7),
SUK LES COUHHKS 1)E GENRE UN. go
oil Z(u) designe une fonction doublement periodique, aux periodes o>, nto', et d'ordre p«
32. On en deduit que la courbe decrite par le point (ac{, x2, x3) on (i, X, Y ) est unicursale.
II existe, en efi'et, entre les deux fonction s doublement periodiques, aux memes periodes X(/) et Z(t), une relation algebrique. Si Ton se donne Z, on trouve pour t, abstraction faite de multiples de periodes, p valeurs. Soit a l'une d'elles. La relation
montre que les (p — i) autres seront u.2(a), up t(a). Or,
aux valeurs a, ut(a), . . ., del correspond, a cause de la relation
une seule valeur de X. Ainsi, Z etant donne, X n'a "qu'une valeur : X est done fonction rationnelle de Z. II en est de meme de Y, et la courbe S, decrite par le point (i, X, Y), est unicursale.
33. Le degre de cette courbe est — - — — Soit, en efi'et, l'equation
X(t) = Xit0),
oil lQ est une constante arbitrairement choisie. Elle donne les arguments des points d'intersection de la courbe S avec la droite X = X(z0).
Cette equation, a moins que t0 n'ait des valeurs particulieres, ce que nous ne supposons pas, n'a pas de racine commune avec l'une ou 1'autre des equations
de plus, les equations
n'ont, abstraction faite des multiples de w, wco', d'autres solutions communes que les quantites
to> u\{to)> • • • 7 11 p 1 ( )•
L'equation X(/) = X(/0)admet tout d'abord comme racines ces p quan-
tites, qui sont differentes, puisque Z' [«,-(*„)] n'est pas nul, et qui sont des racines simples, puisque X'[«,u0)] n'est pas nul.
A ces p racines correspond la meme valeur Y(/0) de V.
Soit v0 une autre racine de 1'equation X(*) = X(/0); les quantites e0, u, (v0), . . . , up t (*>„) seront des racines ; elles different cut re elles, et sont des racines simples pour les m erne's raisons que les quantites t0, "p-ti^o); de plus, la valeur Y(p0) de Y, qui correspond aux p racines p0, u{ (e0), . . ., (V0), differe de Y(i0). On ne peut avoir, en efFet,
en meme temps que
que si v0 a l'une des valeurs /„, u,(t0), . . ., up,(t0), ce qui n'a pas lieu, puisque les quantites tu, ... sont des zeros simples de la fonction
On voit ainsi que les (n — k) zeros de cette fonction, compris dans un parallelogramme co, nco', se partagent en groupes renfermant chacuri p zeros distincts, et qui different des zeros des autres groupes. Aux p zeros d'un meme groupe correspond une seule valeur de Y(i), et les
- — -valeurs ainsi obtenues sont differentes.
II en resulte que la droite X = X(/0) coupe la courbe S en " points
distincts; cette courbe est done de degre " — -■
