VIII. — Discussion generate
34. II nous reste maintenant a reconnaitre si une courbe S, representee par des equations de la forme (6), est de degre n et de genre un.
La consideration des equations fondamentales va nous permettre de resoudre cette question.
II a ete demontre plus haut que, dans le cas ou la courbe S est de degre n, la fonction A(xt,.x.2, jcs) n'est pas identiquement nulle, etqu'il n'existe aucune relation lineaire et homogene identique entre les n fonction s A.r , , Ax„ , Ax3 ; /4 , /, , ...,/„.
Ces conditions necessaires sont en meme temps suffisantes.
Si, en effet, la courbe S n'est pas de degre n, on se trouve dans un des cas particuliers examines plus haut.
i° x, (t), x2(i), x3(t) ont des zeros communs ; en ce cas, on a vu que la fonction A(x{, cc2, x3) est nulle identiquement.
2° xK (t), Xo{t), x3(i) ont k zeros communs, et les equations
sont verifiees simultanement, quel que soit /, pour p valeurs de u comprises dans un parallelogramme to, raw'. On admet, de plus, que les fonctions X(/) et Y(z) n'ont pas de systeme de periodes plus simple que le systeme to, nto'.
En ce cas, si k n'est pas nul, A est identiquement egal a zero comme precedemment. II en est de meme si k est nul.
Admettons, en elFet, que A ne soit pas nul identiquement; on pourra des equations (i i) tirer les equations (12) et (i3). Des lors, en vertu du raisonnement du n° 21, la courbe A = o a un point multiple d'ordre p' — 1 en tout point multiple d'ordre p' de S. Or, a tout point de S correspondent p arguments, I, uf(t), up^{t), et, par suite, tout point de S peut etre considere comme un point multiple d'ordre p, et Ton aura
la courbe 2 = o etant une courbe unicursale de degre — • La fonction A
sera, d'apres ce qui precede, divisible par 2^-', et Ton aura identiquement
A, etant un polynome de degre - — 3 en a?,, x.,, .r:i.
Remarquons maintenant qu'a un point double de la courbe 2 = o correspondent -ip arguments de la formed, ut(i), ///;, (t);f, ut <Y), up , (/'); un tel point est done un point multiple d'ordre 2josur S, et, par suite, d'ordre 2/?— 1 sur A. 11 resulte de I'identite precedente que ce point sera un point simple de la courbe A, = o.
Cette courbe est done une courbe adjointe de 2. Or une courbe unicursale n'a pas de courbe adjointe dont le degre soit inferieur au sien de
trois unites |^car une courbe adjointe de degre m — 1 passant par les - m(m — 3) + 1 points doubles d'une unicursale de degre m couperait cette courbe en m(m — 3) + 2 points ; il en resulte necessairement
()8 OEUVRES DE GEOIHIES HUMHERT.
que la function A, est idcntiquement nullo, et il en est des lors de meme de la fonction A.
3° Les fonctions X(/) et Y(/) ont un systeme de periodcs to,, to',, plus simple que le systeme to, rcto', sans que les equations X(«) = X(?), Y(u) = Y(/) aient dans un parallelogramme u>loi'l d'autre solution commune que la solution u = t.
En ce cas, si le parallelogramme to, nto' equivaut a p fois le parallelogram me to,, to,, la courbe S est une courbe S, de genre un, de degre ^, eomptee p fois. Cela' resulte immediatement de la discussion des nos 17
On aura, comme plus haut, identiquement
la courbe de degre ^ — 3, A, = o, etant une courbe adjointe de E. De meme,/,, . . .,/„ etant les fonctions detinies au n° 15, on aura
cpA, . . ., <p„ etant des polynomes de degre ^ — 2, qui, e gales a zero, sont
les equations de courbes adjointes de E.
Or nous verrons plus loin que l'equation generale des courbes de degre m — 1, adjointes d'une courbe de degre m et de genre un, est de la forme
o = a, C( ■+- a2C2 -)-... -+- ot-m C,„,
a,, a,„ etant des constantes, C,, Cw des polynomes de degre m — 2 en a1,, x.2, x3.
11 en resulte que les n fonctions
^iA,, a.1A'i, ^sAj, <p4, cp„
sont liees par n relations lineaires et homogenes, et il en est de meme des fonctions
