IX. — Consequences geometriques
36. Soit S une courbe de degre n et de genre un, definie par des equations de la forme (6); designons par a2 le nombre de ses points doubles, par a3 celui de ses points triples, etc.
On a, puisque S est de genre un,
a, -+- 3 a3 + . . . -+- - p ( p — i)ap — -n(n — 3 )
on
2a2 + 6a3 + . . . + p(p — i)ap= n(n — 3).
La courbe A, dont nous avons appris a former 1'equation, est de degre n — 3 et a un point multiple d'ordre p — 1 en tout point multiple d'ordre p de S; elle a done avec S p(p — 1) points communs en un tel point, et 1'equation precedente montre que A ne coupe S qu'aux points multiples de cette derniere courbe.
II en resulte que la courbe A est unique; car, s'il existait deux courbes adjointes A = o et A'= o de degre n — 3, la courbe
aA + «'A'= o,
oil a et a' sont des constantes, serait egalement une courbe adjointe, et Ton pourrait la faire passer par un point quelconquc de la courbe S, qu'elle couperait ainsi en n(n — 3) -+- 1 points, ce qui est impossible.
