Soient

C, et G2 deux courbes adjointes quelcon([iies de degre n — 2;

Sn la courbe adjointe' de degre n— 1 qui louche S aux n points, autres

que les points doubles, oil C, coupe S; 2,2 la courbe adjointe de degre n — 1 qui coupe S aux in points, autres

que les points doubles, oil C, et C2 coupent S; A la courbe adjointe de degre n — 3.

i" II existe une courbe Gt2 de degre n — \ , passant par les points , autres que les points doubles de S, oil C, et C2 coupent A;

20 La courbe £12 coupe Gl2 en (n — — 4) points : la moitie de ces points est situee sur C, , I 'autre moitie stir C, ;

3° // existe une courbe Gn, de degre n — l\, tangente a A aux points, autres que les points doubles de S, ou C, coupe A; les courbes G, , et A sont ainsi tangentes en tons leurs points de rencontre ;

4° S, , louche la courbe G, , en torn ses points de rencontre avec elle; ces points sont situes sur C, .

Les theoremes 3° et 4° sont des cas particuliers des theoremes i° et 20.

40. ' Ces theoremes donnent des proprictes de la courbe A; onpeuten deduire les conditions necessaires et suffisantes pour que ^n(ji — 3) points d'un plan soient les points doubles d une courbe de degre «, de genre un(().

Ces conditions sont les suivantes :

Soit A la courbe de degre n — 3 qui passe par les l-n(n — 3) points donnes, cette courbe doit etre unique et n'avoir de point multiple en aucun de ces points.

i° Toute courbe C de degre n — 2 passant par les points donnes coupe A en^(n — 3)(n — 4) points : il existe une courbe G, de degre n — 4> t°Um chant A en ces points ;

(1) M. Ilalplien a traite cette question pour la courbe du sixieme ordre {Bulletin de la Societe matlieniatique de France, t. X, p. i(>>).

SLR LES COURBES DE GEM RE UN. I o3

2° La courbe G coupe G en x- (n - - 1) (n — 4) points non situes sur A : t7 existe une courbe 2, flfe degre n — i , touchanl G eft ces points, et passant par les ^n(n — 3) points donnes.

Ces conditions, qui reviennentaux propositions dcs theoremes i°et 2°, sont necessaires : je dis qu'clles sont suffisantes. Soit, on effet, la courbe ayant pour equation

oil A designe une constante arbitraire. Cette courbe de degre in — 4

est evidemmcnt tangente a G en ^(n — 3)(n — 4) points situes sur A,

et en ^(n — — 4) points situes sur Z, puisqu'on suppose veriflees

les conditions i° et 2°; on peut choisir X de facon qu'elle passe par un point arbitraire de la courbe G, qu'elle coupe ainsi en

c'est-a-dire en (n — l\){in — 4) ■+- 1 points : elle se decompose done en deux courbes dont l'une est G et l'autre une courbe S, de degre n. On a ainsi identiquement