Soit une courbe algebrique quelconque de degre m
Les arguments de ses mn points d'intersection avec S sont donnes par l'equation
o=/(0=/(A,PI + ... + A„P,1, B,Pl + ...; C, Pt-+-. . .),
t'Tlf „ /7t W — -pin inn-
/{t-h ntj)')=f(t)e ' "'
qui a, dans un parallelogramme (w, noS), mn zeros dont la somme, a des multiples pres des periodes, est egale a^(co -+- nto'). On trouve aisement, en se reportant aux relations (3),
29) Posons
on aura
//(* + *>) =/(«), (29 bis) j 2,
J /(/ -+- mnu',) = /(/)« u ,
et par consequent (theoreme est fonction lineaire et homognie
ORUVHES DE G. HUMBERT. T. t. 14
lo6 ()l UVRFS HE ttKORORS HUMRKRT.
des mn f'onctions II, , . . . , ll„,„,
II, = eJt.w,—\
v ml
L'equation qui donne les arguments des points d'intersection d'uno courbe de degre m aver S pent done se mettre sous la forme
(3o) f{t) = r/, II, H- rt,II2 + . . . + a,„„n,„n = o,
a,, amn etant des constantes.
43 bis. D'apres ee qui precede, on peut dire que :
La somme des arguments des mn points d'intersection de S et d'une
courbe de degre m est egale a ^(w + p'), a des multiples pres
de co, noS.
Si la courbe de degre m est la courbe adjoinle a S de degre n — 3, on voit que :
La somme desn(n — 3) arguments qui correspondent aux^n(« — 3)
points doubles de S est ' 2 (to + rcto'), a des multiples pre si
de co, n,to'.
44. Inversement, les mn points de S dont les arguments verifient une equation de la forme precedentc (3o) ne sont pas toujours sur'unc eourbe de degre m. Certaines conditions doivent etre satisfailes par les coefficients a2, . . . , pour qu'il en soit ainsi.
Nous distingucrons deux cas, m<^n et m>/i.
Si m est inferieur a n, les fonctions de la forme
<l\i <]i-> (li etant des entiers non negatifs de somme m, ne sont liees par aucune relation lineaire et bomogene (sinon, la courbe S serait decomposable); et, comme ces fonctions verifient les relations(2C)) et(2g bis), ellcs s'exprimenl lineairement a I'aide des fonctions II, (*), U.,{t),
SUIl LES COURBKS 1>E OEJKRE DM. IO'
Umn(t). Leur nombre etant de l-(m -+- i)(m + 2), on pourra exprimer
des fonctions II, en fonction lineaire des mn — '-(m + 1) ( m -+- 2 ) autres
f'onctions II et des fonctions x^x^xf : si nous portons ces valeurs dans l'equation (29), et si nous ecrivons que les coefficients des fonctions II restantes y sont nuls, nous obtenons
mn — - (rti -+» I ) ( n% h- 2 )
relations lineaires et homogenes eritre ay,a2, am„.
Siwiestegal ou superieuran, les fonctions x^xfxl'i gt-+-g2-hq3 = m) sont liees par des relations lineaires el homogenes : soit ^m — o une de ces relations, on aura identiquement
'\m-n etant un polynome de degre m — n en xt, x.2, x3.
II y aura done entre les fonctions x\lx1^xq^ un nombre de relations lineaires egal au nombre des coefficients de '\m-n, e'est-a-dire
*? ( in — n -4- 1 ) ( in — n ,-+- ?),
et le nombre de res fonctions lineairement distinctes sera
OU
On en conclut, par le raisonnement applique plus liaut, que les coefficients a{, a.,, ... de l'equation (3o) devront satisfaire a^«(/i — 3)
relations lineaires et homogenes, pour que les mn points de S, dont les arguments verifient cette equation, soient situes sur une courbe de degre m.
1 "O OEUYRES I)E (iKORGES HUMBERT.
Remarque. — Pour m — n — i et m = n — i, le nombre run — ^(m + i)(»i + ?,)
est egal a - n(n — 3), c'est-a-dire an nombre des relations trouvees pour m> n.
45. Clebseh a mis ces relations sous line forme importante au point de vue des applications (').
Soient
/(J?,, xt, x3) =o
1'equation d'une courbe quelconque de degre m, e! /(/) la fonetion
