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Designons par (<?,, e\), (e2, e'2), ... les arguments qui correspondent aux points doubles E,, EL,, . . . de S. On a, par hypothese,
xl{<-'\ ) ( ) ^:,{e\ ) x i ( ei ) x". ( e\ ) T x3 ( e, )
et, par suite, c'est-a-dire
/(^);<<yf)^/(i,y:s<(ei)'.
Si done les m/i points, dont les arguments verifient 1'equation (3o), sont situes sur'une courbe de degre m, les rnn coefficients de cetle equation devront satisfaire aux relations
(3i) f{e'i):x'('{e'i)=f(ei):^'(ei) [i = i, 2, . . . , i n (« - 3)J .
46. Les relations (3i), que nous appellerons les equations de Clebseh, sont necessairement verifiees quand les rnn points de S, dont les arguments satisfont a 1'equation f(t) = o, sont situes sur une courbe de degre m; je dis maintenant qu'elles sont suffisantes.
(*) Clebsch, Journal de Cretle, t. 64, p. >">o.
SUH LES COURIiES I)E GENRE UN. I Og
Pour le demontrer, on s'appuiera sur une interpretation geometiique qu'on peut donner de ces equations.
47. Lemme. — Les inn points de S, dont les arguments verifient une equation de la forme (3o), f(t) = o, sont situes sur une courbe adjointe F, de degre m -+- n — 3.
En d'autres termes :
mn points de S, dont les arguments ont pour somme (a> -h ntx>' ),d des
multiples pres de w, no/, sont situes sur une courbe adjointe a S, de degre m -+- n — 3 .
Supposons d'abord qu'aucun de ces mn points ne coincide avec un des points doubles de S.
Une courbe adjointe, de degre m-hn — 3, coupe S aux points doubles et en mn autres points, dont les arguments ont pour somme,
a des multiples pres de o>, nw', la quantite ^^(w + nco'), ainsi qu'on le voit aisement (n° 43 bis).
Cette quantite est precisement la somme des mn zeros de la fonction f{t), contenus dans un parallelogramme co,
Un des points d'intersection de S et d'une courbe adjointe est done determine par les autres; ces autres sont arbitrages, car on sait que, parmi les points d'intersection de deux courbes, l'une de degre n,
1'autre de degre m-\-n — 3 passant par ^n{n — 3) points doubles de
la premiere, le nombre de ceux qui sont determines par les autres est, au plus,
e'est-a-dire i (').
II en resulte que, etant donnes, sur S, mn points quelconques, difTerents des points doubles, et dont les arguments ont pour somme
(,') Clebsch, Lecons sur la Geomctrie, Traduction Benoist, I. II, p. ioo et suivantes.
■ •Ysl-ii-dire mn points, donl les arguments verilienl line equation tic la forme (3o), on ponrra t'aire passer, par pes points, une courbe de degre m-\-n — 3 adjointe a S, pourvu que le nombre des conditions auxquelles Se Irouve assujellie cette courbe, c'esf-a-dire le nombre
— n(n — 3) -|- nin — i ,
soit inferieur on egal an nombre des conditions qui determinent une
coiirbe de degre m + n — 3, c'est-a-dire a m + ^ — - (m ■+- n) : or, cette
inegalite etant verifiee, quels que soient les entiers positifs m et n, le lemtne est deniontre. ,
48. (lela pose, soit K = o ['equation d'une conrbe, de degre m-h n — 3, adjointe a S et passant par les mn points de S, donl les arguments vevilient une equation f(t) = a de la forme (3o). Si m -+- n — 3 est egal ou superieur a n, c'est-a-dire si m= 3, il y aura, pour une meme equation f(t) = o. une infinite de courbes F ayant pour equation generate
(F)' F^Fo+SR,^,
F0 = o etant 1'equation de Tune quelconque d'entre elles, et Hm:1 designant un polynome arbitraire, de degre m — 3. Les courbes F ont un point simple en chacun des points doubles de S,
puisqu'elles coupent la courbe S en ses^«(// — 3) points doubles et
en mn autres points, distincts des precedents, par hypo these; il resulte de 1'equation (F) que toutes les courbes F qui correspondent a une meme equation f(t) = o se touchent en un quelconque des points doubles de S.
Soient:
&(x, , ccn, oc3) = o 1'equation de la courbe, de degre n — 3, adjointe a S ; A(t) la fonction &[x, (*), . . .] ; V(t) la fonction f\ xs (t), ...}.
En decomposant cette derniere fonction en un produit de fonctions 0, on obtiendra evidemment la relation
