F(0 = AA(0/(A

A etanl une conslante.

sun les courbes DH t.enue uiy. i i i

Supposons verifiee unc des equations die Clebsoh

Si Ton prend pour les axes x., — o et x3 = o les deux tangenles a S, au point double (e, e'), x., — o etanf la tangente a la branche e et x:i = o la tangente a la branche e', on aura, en ordonnant F et A par rapport aux puissances decroissantes de x,,

V(xt, x2, x:i) — l(x.,-i- ax,)x'^"-'' + (/.'./•;+. . . jflff**"* -t- . . . , ' \(xu x2, x-i ) — p. ( x., -+- bx3)x", ' -+-. . .;

X et fx ne sont pas mils, puisque les courbes F et A onl un poinl simple en lout point double de S.

Or, d'apres la relation (3n),f(e) est la limite vers laquelle tend la fo net ion

quand i tend vers zero, e'est-a-dire, en negligeant les termes dn second ordre en x.2 et .-r.,, la limite de Fexpression

i X[.ri(e + e)-w/.r,(e + B)j

A p.[.r3(e + e) -+- bx^(e + £)] 1 1 '

Mais #o(e, -h 1) est infiniment petit par rapport a x3(e -+- 1), puisque la droite x, = o est tangente a la branche e; il reste ainsi

De meme

et la relation (3j) donnera

Par consequent :

5i r equation de Clebsch, relative a un point double, est verifiee, les courbes F et A se touchent en ce point.

Telle est ['interpretation geometrique qu'on peut donner des equations de Clebsch.

I I 2 OEUVRES T)E CEOnr.ES Ilt'MBERT.

49. Cela pose, supposons toutes les equations de Clebsch verifiers par une fonction /(/) de la forme (3o).

Les courbes F correspondant a cette fonction et la courbe A sont

tangentes en^n(n — 3) points, qui sont les points doubles de S; en

d'autres termes, on peut dire que l'une quelconque des courbes F passe paries points d'intersection des courbes S et A; on peut done (Clebsch, Lemons sur la Geome'lrie, traduction Benoist, t. II, p. /p et suivantes) ecrire identiquement

F = \A + BS,

A etant un polynome de degre m, et B un polynome de degre m — 3,

On conclut immediatement de cette identite que les points d'intersection de la courbe F et de la courbe S, non situes sur la courbe A, e'est-a-dire les mn points, dont les arguments verifient l'equation f(t) = o, sont situes sur la courbe, de degre m, A = o.

Les equations de Clebsch sont done les conditions necessaires et suf/isantes, pour que les mn points de la courbe S, dont les arguments verifient l'equation f(t) = o, soient sur une courbe de degre m.

50. Remarque I. — Nous avons admis, dans ce qui precede, qu'aucune des quantites /(e) n'etait nulle. Si Ton avait /(e) = o, on aurait egalement, en vertu de l'equation (3i), f(e') — o. Supposons done que Ton ait /(e) = o,/(e') = o, e et e' etant respectivement des zeros multiples d'ordre p et q (p, q= i), de la fonction f(t).

Considerons une fonction f{(t) de la meme forme que f(t), ayant pour zeros multiples, d'ordres p et q, les quantites e + i, e'+s', et s'annulant pour les memes valeurs de t que f(t), les valeurs e et e' exceptees.

Si les equations de Clebsch sont verifiees par la fonction /,(?), les mn points de S, dont les arguments sont les zeros de cette fonction, sont sur une courbe de degre m, et il en sera de meme a la limite, quand e et-s' seront nuls.

En ce cas, l'equation

f(e'):x»>(et)=f(e): r»'(e)

SUIt I.ES COURBES T)E GENRE UN.

est verifiee identi(juement, puisque f{e) et f(e') sont nuls, et il suffira

que Ies '-n(n — 3) — i autres equations de Clebsch soient egalement

verifiees, pour que les mn points de S, dont les arguments annulent f(t), soient situes sur line courbe de degre m, passant par le point double (e, e'<) et ayant en ce point avec S(j> -i- q) intersections confondues.

En general, si la fonction /(/) admet pour zeros les k couples de valeurs eK, e\, e2, e't, . . . , ek, e'h, qui correspondent a k points doubles de S, le nombre des equations auxquelles doivent satisfaire les coefficients de cette fonction, pour que les mn zeros def(t) soient les arguments de points de S, situes sur une courbe de degre m, se reduit de k unites.

51. Remarque II, — Si m est inferieur ou egal a n — 3, nous avons vu que le nombre des relations auxquelles doivent satisfaire les coefficients de f(t), pour que les mn zeros de cette fonction soient les arguments de points de S situes sur une courbe de degre m, est

mn ( m + i ) ( m -t- 2 ) .

En ce cas, il n'y aura que mn — l- (m -f- i) (m -+- 2) relations de Clebsch lineairement distinctes.

52. Remarque III. — Si le point double (e, e') est tin point de rebroussement, il faut, dans l'equation

faire e' = e -+- z, et faire tendre £ vers zero. On trouve ainsi

^i{e) f {e) = mx\{e) J\c).

53. Remarque IV. — D'apres le lemme du n° 47, les mn points de S dont les arguments verifient une equation de la forme

(3o) ^,11, + fljjjiij-h. amnJlmn = o

soul, quelles que soient les eoristantes at, a.,, anmx snr une courbe adjoin te de degre m-\-n — 3, dont l'equation sera evidemment de la

(EUVRES DE O. HUMBERT, L. I. Il

OtCYKES DE GEOKGKS UliMBEKT.

forme

(33) 11 = a, Hi -+- asHi + , . . + amHi\{ml, = o.

II on resulte qu'a toute propriety analytique de IVquation (3o), e'esta-dire a toute forme de cette equation, correspond™ une forme de l'equation (33), §t, par suite, une propriete des courbes adjointes R.

('/est dans ce sens que la resolution du probleme suivant donnera lieu a une serie d'applications geometriques, qui vont nous oceuper maintenant.