V . CO

t — ti ~\ \~p — ->

Fy(M =//(/)•

les relations precedentes deviennent

La fonction F7(/( ) cstdonc fonction lineaire et homogene (theoreine I) des lj fonctions •

i, . . ., lj— i),

I 1 6 OEUVRES DE GEORGES IIUMliERT.

et, par suite, fj(t) est fonction lineaire et homogene des /y fonctions ©y-, . . telles que

On a ainsi

//(<)== »!, ?} (/) + yj, ?; (/)+... +

Les zeros de fj(t), c'est-a-dire Ies ij zeros d'ordre ry du yWme groupe, ne sont assujettis par hypothese qu'a la condition d'avoir j7- pour somme ; les constantes y],, y)a, ... sont done arbitraires.

De la resulte la forme cherchee de f(t),

(35) /(/) = ^(/)[a1?'1 + a2cp';+...+ a/icp(1/'1]''

x [ 3, ©; + . . . Y' ■■■ [*i + % ]'■', a,, . . ., o/( etant des constantes arbitraires.

.")6. La relation precedente montre que /(/) est une somme de termes de la forme

% [x/, v„...,v/„(0 = HtWf . . . ...<#•;.. <p>>%

a,, . . ., ^ etant des entiers non negatifs de somme rt, . . .; v,, . . ., v, etant des entiers non negatifs de somme rq.

Les fonctions satisfont, comme on le voit immediatement, aux relations

iitt , a);

et sont, par suite, des fonctions lineaires de II, , . . . , II/,. Nous ecrirons generalement, sous forme symbolique,

(35 bis) f(t) = («„ «2> . . ., a,,)'1. . . . (d,, o.,, . . ., B )>>.

SUR LES COUHBES l)E (lENRE UN.

> Co, p — ,

57. Remarque I. — Si line des quantites /, /, par exemple, est egale a 2, on a (3/i)

?',(*) = Bt[t---P -~

On trouve aisement les relations

[<?'[[< -p^)=Ae ?';{/)' ^'\t-p-f)=ke *

A etant une conslante.

Les fonctions flp',(*) et '^(O out deux zeros dans tout parallelogramme oo, poi\ (ou co, nco'), et la somme de ces zeros ests, , a des multiples pres de o),pu>\. On a ainsi

■2 in i

on en deduit

(^7 ) '• et, de meme,

f c?';(*.-0 = ?'i CO*''' l" ' •

Ces formules nous seront utiles plus tard. 58. Remarque II. — Si Ton a a la fois

^' etant inferieur a ^, la fonction /(*) [equation (35)] prend une forme plus simple.

En ce cas, en effet,/,,/2, sont fonctions lineaires et homo-

genes des deux fonctions <p', et o'[ de la remarque I. On a ainsi

/(0 = <KO[«i?'i + «2 <?'!]'''[ p. + p,?;']** •••[71?; + y*?*Jr*>.« •

I I 8 OKUVRES T)E GEOROES HUMBERT.

ou, puisque r{ = r., = . . .= r ,

/(/) == 'MO[«iP. • • • •/i?r/'+- • •.+ ««& • • • y^M''-

La fonction entre crochets est un polvnome hornogene, de degre q', en o, et 9*; les quantites a,, (•;,, y2 etant arbitraires, il est clair, d'apres la formation ineme de ce polvnome, que tons ses coefficients sont egalement arbitraires et en posant

= cp, , a>'/1 9' — a>2» • • • »

on aura

(38) /(0='H')[l»l?l+/'2?2 + --' + /'vVl?,'-n]''' ...

ou, symboliquement,

(38 bis) '/(/) = (/>,, ...,pq+iT\. ..{Su o/(( )'•,,

pt, p2. ... etant arbitraires.