CONJUGAISONS ET CORRESPONDANCES
73. Nous appellerons points conjugues dans un systeme s deux points situes sur la courbe S, dont les arguments ont la somme constante .y, a des multiples pres de co, /ito'.
Remarque. — Au point devue geometrique, on peut definir comme il suit un systeme de points conjugues.
Soient, sur la courbe S, n — i points fixes quelconques. Considerons les courbes adjointes de degre n — 2 qui passent par ces points. Ces
, n(n—3) , ' , (« — 2)(/i + i) courbes ont ^ — - -+- n — 2, cest-a-dire^ ~ -— 1 points
fixes, etforment ainsi un faisceau. Les deux points mobiles ou l'une quelconque de ces courbes coupe S ont evidemment deux arguments dont la somme est constante, et sont, par suite, conjugues dans un systeme fixe.
I. — Equation generate des droites joignant deux points conjugues.
Enveloppe de ces droites.
74. L'equation qui donne les arguments des points d'intersection d'une droite quelconque avec S est de la forme
Si cette droite passe par deux points conjugues dans le systeme s, on connait la somme s de deux zeros de la fonction f(t); la somme
des n — 2 autres sera -(co + /ico') — s a des multiples pres de to, «co'.
La fonction f(t) sera done de la forme [equation (35)]
SUR ■ LBS COUnBES DE GENKE UN. I 33
Pour que les n zeros de f(t) soient les arguments de n points de S, situes sur une droite, il faut et il suffit que les quantites a,, a2; Pu $n-2 verifient (n — 3) relations de la forme (n° 44)
Pi(mi'ai + nta3) -+- (32(/n'(a,+ nj«2) +. . .= o (i == i, 2, . . ., n — 3),
mh ... etant des constantes.
De ces n — 3 relations, on tirera les valeurs proportionnelles de 3,, 3 3
^ =•&==.! = fe?,
,/t Ji Jn-2
/,>, /2, ... designant des polynomes homogenes, de degre n — 3 en a, et a2, et Ton a ainsi, sous forme symbolique,
Dans le second inembredeveloppe, a, et a, entrent au degre n — 2, et, par suite, 1'equation generale des droites joignant deux points conjugues dans le systcme s sera de la forme
0 = 07, Cp„24- ({/„ -2'+ &3 Xn—2,
%-», ••• etant des polynomes homogenes de degre n — 2 en a,, a2. II resulle de la que :
Les droites qui joignent deux points conjugues dans un systemc donne enveloppent une courbe de (n — <±yemc classe ('), unicursale et donl le degre est, en general, 1 (n — 3).
75. Le degre et la classe de cette courbe s'abaissent si la valeur don nee de s est lasommedes deux arguments ef ete.2 qui correspondent a un point double de S : en effet, 1'equation qui donne les arguments des points ou S est coupee par une droite quelconque issue du point double considere admet les zeros e{ et e\ dont la somme esU. La courbe enveloppe cherchee se decompose done en un point et une courbe de classe n — 3. On peut se rendre compte de ce fait directement.
On a toujours, pour la fonction f(t),
/(0 = («t <Pi-l-«2 ?i) ([3,?; + ...).
(') Clebscii, Journal de Crelle, t. 64, p. '217.
76. Parmi les equations qui lient a,, a2 ; (3,, ... est la suivante (n°45)
(6i /(e,) : —f{e\) \ Xi(e\);
or on a, puisque e, -+- e', =
f(e\) = f(s-e,) et, d'apres les relations (37),
liit i/it
9', $>;<*) ^ ■ , <p'; - 0 = ?; (o gir '•
L'equation (61) devient done, en remplacant ^\(e\), y\(e\) par leurs valeurs,
(62) -r- )„ \ [gi?i(ei) + *»<Pt'(*i)] [Pi?a(«i) + • • ■]
2 (It
= (fl v [«i<Pi(gi) + «»?i(g«)] [Pi¥t(«'i) + ■ • •]>
et l'expression a, ^(^i) a2?i(e0 est en facteur. Si on l'egale a zero, on ecrit que
e'est-a-dire que la droite consideree passe par Ie point double (e,, e\). Si on ne l'annule pas, l'equation (62), debarrassee de ce facteur,
devient une relation lineaire et homogene entre [3, (3„2,qui permet
d'exprimer une de ces quantites en fonction lineaire et homogene des autres. On a ainsi
/(0 = («„ fa, .... f3„-3),
et Ton en conclut, corame on 1'a fait plus haut, que l'equation generale des droites joignant deux points conjugues dans le systeme eK -he\, et ne passant pas par le point double (elf e\), est de la forme
o = o;1a);i 3-*-^2d'„3+ *sX»Hu
<pn s, . .. etant des polynomes homogenes de degre n — 3 en a,, a2.
Ces droites enveloppent done une courbe de (n — '\yme classc unicursale et, en general, de degre i(n — 4)-
SUR LES COURBES I)E GEN KE UN. f 35
77. Celte courbe enveloppe louche la tangenle menee an point double (c, , e\ ) a la courbe A, de degre n — 3, adjointe a. S.
En effet, toute courbe de degre n — 3 passant par les ~ n (n — 3) — i
points doubles de S, autres que le point (et, e\), coupe S en deux points mobiles dont les arguments ont pour somme <?, + e\ (n° 43 bis).
La droite D joignant ces deux points sera done une des droites considerees. Or, si la courbe de degre n — 3, dont on vient de parler, se rapproclie de la courbe A, la droite D tend a se confondre avec la tangente menee a A au point (e, , e\ ). c. q. f. d.
