II. — Tangentes doubles de la courbe enveloppe

78. II est aise de determiner directement le nombre des tangentes doubles de la courbe enveloppe des droites joignant deux points conjugues, e'est-a-dire le nombre des droites qui passent par deux couples de points conjugues dans le systeme donne s.

La fonction f(t), correspondant a une de ces droites, sera de la forme (n° 58, remarque II)

f(t) = (Pi, Pup»){dx, d,, <af„4).

En ecrivant, comme plus haut, les n -'3 relations qui lient p2, p3; d{, et qui sont de la forme

o = d^mip^ nipl + qtp-i) + d,{m', pt ■+-...) -h ... ,

mh ... etant des constantes, on obtiendra, par l'elimination de d{, dn,lt deux equations de degre n — 4 en p,,p-2,p3. Ces deux equations se presenteront sous la forme de deux determinants identiques 1'un a l'autre, a une ligne pres, et Ton sait que deux pareilles equations sont

verifiees, en general, par ~(n — !\)(n — 3)systemesde valeursde ^-2,^.

2 ■ Pt Pi

Ainsi :

Theoreme. — // existe ^ (n — 3)(« — Zj) droites qui passent par deuce

couples de points conjugues, et qui sont, par suite, des tangentes doubles de I1 enveloppe.

l36 OEUVIlES DE GEORGES HUMBERT

79. Si s est la somme des deux arguments e, rte\ d'un point double de S, ce nombre de tangentes doubles se reduit, comme on le voit aise-

ment, a -j (n - l\){n — 5),