III. — Proprieties de la courbe enveloppe

80. La courbe enveloppe des droites D, qui joignent deux points conjugues dans un systeme donne s, louche la courbe S en un certain nombre de points, que nous allons determiner.

Soit un point quelconque de S, d'argument /. Les valeurs proportionnelles de a, et a2, qui correspondent aux n — 2 droites D qu'on peut mener par ce point, sont donnees par l'equation

f{,f2, ■ • • sont les valeurs proportionnelles trouvees plus haut pour [3,, (3,, c'est-a-dire des polynomes de degre n — 3 et homogenes en a,, a2

L'equation (63) admet tout d'abord la solution

qui correspond evidemment a la droite joignant le point considere, d'argument t, an point d'argument s — t.

Cela pose, remarquons que les points de S situes sur l'enveloppe des droites D sont evidemment les points dont les arguments sont tels que

l'equation (63) ait deux racines egales en ~, et qu'en ces points l'enveloppe touche la droite D qui correspond a la racine double.

Or, parmi ces points, nous rencontrons ccux dont les arguments t sont tels que les deux facteurs du second membre cle Tequation (63) aient une racine cominunjs, c'est-a-dire ceux dont les arguments satisfont a l'equation

,(64) o=/1[cP"l(o, -?',(O]<?;(0 + A[?".(o, -?,1(/)]c?;(o+.-.-

Soit t0 une solution de cette equation. La droite D0, joignant les points d'arguments /0 et s — /„, coupe S en des points dont les arguments veri-

fient l'equation (63)

(63 bis) o=t«;<pU^ + «S?\(0][/i(«?. *2)?'i(0 +•••],

a' et a° satisfaisant a la relation

Or la fonction

c'est-a-dire

s'annule, par hypothese, pour t = t0 : les deux facteurs du second membre de l'equation (63 bis) s'annulent done separement pour t — t0, et, par suite, la droite D0 est tangente a S au point t0.

D'un autre cote, nous avons vu que 1'enveloppe des droites D passait par le point t0 et y touchait la droite D, correspondant a la racine double

Cette droite D est ici la droite D0, et, par consequent :

La courbe enveloppe des droites D louche S en torn les points dont les arguments verijient l'equation (64).

Cette equation est de la forme

(65) 0(O = 2(py(O?'*(O<?f'l 3"*(O=:o (k = o% i, n — 3),

Qj(t) etant fonction lineaire et homogene des fonctions <p's, y"it ... de l'equation (63).

Or, dans le parallelogramme co, nw', fj(t) an— 2'zeros; a/, et 9", en ont deux; il en resulte immediatement que le premier membre de la relation (65) en aura

{n — 2) + 2 (/i — 3), c'est-a-dire 3n — 8.

La somme des deux zeros de ou <p", etant celle des n — 2 zeros de<py-(f) est ^(lo + raw') — s, et celle des 3rc — 8 zeros de ©(/) sera evidemment

- (w 4- nu') — s 4- As 4- (n — 3 — A-)* = (n — 4)* ^ — (w + "00'),

CEUVRES DE O. HUMBERT, T. I. 18

1 38 OEUVRES DE GEOltGES HUMBE»f.

Ainsi :

V envcloppe des droites D louche S e« 3n — 8 points, dont les arguments ont pour somme

d des multiples pres de to, ft to'.

81. Si s est la somme des deux arguments e{, e\ d'un point double <le S, on verra de meme que I'enveloppe touchc S en 3n — io points

dont les arguments ont pour somme (ft — 5) s -h ^(to-h/ito'); ce qu'on peut enoncer ainsi :

Soil E un point double d une courbe S de degre n el de genre un : les courbes de degre n — 3 qui passenl par les autres points doubles de S coupent cette courbe en deux points mobiles ; la droite qui joint ces points enveloppe une courbe unicursale de degre a (ft — 4), de classe (ft — 3), qui louche S en 3/i — io points dont les arguments ont pour somme

(ft — 5) s + (to 4- ft to') a des multiples pres de to, ft to'.