IV. — Propriete geometrique des couples de points conjugues
82. Theorkme. — Le conjugue harmonique par rapport a deux points conjugues dans un sysleme s, du point oil la droite qui les joint coupe une droite fixe, decrit une courbe unicursale de degre n(').
Soient, en effet,
U = axX\ 4- a2&i+ azx%— o
l'equation de la droite fixe consideree, t et s — t les arguments de deux points conjugues M etN; le conjugue harmonique du point d'intersection des droites U et MN, par rapport aux points M etN, a pour
coordonnees
X(= U(t)xi(s — t) + \](s — t)jr,(l) (i= i, 2, 3),
( 1 ) P. d'I^sclajhes. These, |>. y.
SUR I.KS COURIiES DK UN.
etant pose
U(/) == a1ari{l) -+- a,x.,(l) 4- <7:)^:j(/), U (5 — / ) = a,a?j (5 — t) + a2x%(s — t ) + «3.r3(i — t).
Les deux fonctions ~ et ^ sontdoublementperiodiquesauxperiodesco,
/ico' d'ordre 2ra; de plus, elles ne changent pas, si Ton y remplace t par s — t. 11 en resulte (nos 32 et 33) que la courbe decrite par le point
(X,, X2, Xs) est unicursale, et de degre — > c'est-a-dire n.
83. Remarques. — I. Si la droite U passe par deux points de S conjugues dans le systeme s, d'arguments a et s -- a, la fonction U(«) s'annule pour t = a et 1 = s — a, et il en est de me me de la fonction U (s — 1). Les trois fonctions X,(f), X2(/), X3(i) out done deux zeros communs, et le degre de la courbe unicursale decrite par le point
(Xn X2, X3) sera — c'est-a-dire n — i.
II. Si la droite U est tangente double de l'enveloppe des droites
qui joignent deux points conjugues dans le systeme s, le degre sera
i c est-a-dire n — 2.
III. Si la droite U passe par un des quatre points de S dont les argu-
ments sont respectivement -> -h — > - + - co , -h h-co, par le
point - par exemple, les fonctions U(£) et U (s — t) s'annulent pour
t ■= -. II cn est, par suite, de meme des fonctions Xt(*)> X2(/), X3(z). Or, de la relation
on deduit, par derivation,
Cette derniere equation montre que les fonctions X',(«), X's(z), X£(*)
s'annulent pour t = - est done un zero double de X, (*), X2(j), X3(/),
et la courbe decrite par le point (X,, X2, X3) est de degre n — 1.
II est clair, en vertu de ce raisonnement, que, si La droite U passe par
le point d'argument -> et par deux autres points de S conjugues dans le
l4o OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
systeme s, le degre du lieu decrit par le point (X,, X ,, X3) sera 2 " 4 ? c'est-a-dire — 2.
En general, si la droite U passe par A des quatre points d'arguments
- + — » — 1 — to', - + — +-—&>', etpar ^' couples de points conjugues dans
le systeme ^, le lieu du point (X,, X2, X3) sera de degre >
c'est-a-dire n — h — h'.
Exemple. — Sur une courbe S du quatrieme degre et de genre un, le conjugue harmonique par rapport a deux points conjugues dans un systeme s, du point oil la droite qui les joint coupe une droite fixe, decrit
une conique pour quatre positions de la droite fixe. Les quatre droites
• • ■ • s 3 s en question sont celles qui joignent les poles d arguments - et ;
s co %s to - s . u 1 3$ co » s .,
— I — et 1 — ; — 1 h2w et — — H h2w ; -4-20) et
Is
La conique devient une droite si — — est egal a Tune des quantites
- + -> — -+- 2co', - + -•+- 2co', c'est-a-dire si s a l'une des douze
1 CO h CO it, t hdi 111 to , h CO 111
valeurs -7 H h 2A co ; co H h in co ; 7 + w H 2A co :
