V. — Courbes menses par des couples de points conjugues
84. Theor£me. — Les courbes de degre n — 3 passant par kK points Roubles donnes de S, et dont les autres points d 'intersection avec S sont deux a deux conjugues dans un mime systeme s,forment un faisceau.
Soit s{ , la somme des ikh arguments qui correspondent aux kt points doubles donnes; on aura
st -)- n (n — 3) — A-,J s — ^-n{n — 3)(to-t-nco')-4-/ico + /i/i'co',
h et h' etant des entiers quelconques. On tire de la, pour s, (8 — A-,)2 valeurs (a des multiples pres de co, nin').
II y a done (o — k,)2 systemes dc courbes de degre (n — 3) repondant a la question.
Soit la fonction f(t)qu\ correspond aux courbes de l'un des systemes. On a (Rem. II, n° 58)
/( t) = <p (t ) [px cpt ( 0 + . . . + P8-*l+i 98-*t+i ( 0 ]»
p,,p2, ••• etant des constantes. Pour que les zeros de f(t) soient les arguments de points situes sur une courbe de degre (n — 3) passant par k, points doubles, il faut que p{, p2, jOg-A.+i verifient o — /»•, — i relations lineaires et homogenes (nos 45, 50, 51).
On pourra done exprimer i?> — — i de ces constantes en fonction lineaire et homogene des deux autres, et Ton aura
f(t)=PlYl(t)+p2Vt{l),
p, et p2 etant des constantes arbitrages. L'equation generale des courbes de degre (n — 3) appartenant au systeme considere est done de la forme
et ces courbes forment un faisceau.
85. Plus generalement considerons les courbes de degre (n — 3) passant par k, points doubles donnes de S. On peut les assujettir a couper en outre S en 0 — /.-, — 1 couples de points conjugues dans un systeme donnes; si ce systeme n'est pas un des (§ — k,)- systemes definis au numero precedent, la somme des arguments des deux derniers points d'intersection avec S des courbes considerees aura une valeur constante s differente de s.
La fonction f(t) correspondant a de telles courbes sera de la forme
f(t) = {pi,Px, - - ■, ps-/-,) (P,, (32).
Les constantes pn p,, (S2 sont liees par 0 /.-, — 1 relations de la forme
Pi(mi$i + «/(32) 4- pi{qifii + nfiz) + ... — 0 (1 = 1, 2, . . ., <5 — ku — 1).
OLUVRES DE r.EORC.ES HUMBERT.
On deduit de la les relations
Pi /h />3-<,
fi fi /0-/.1
/,, ... ctant des polynomes homogenes de degre 0 — k, — 1 en (J, et (32. L'equation generale des courbes de degre (n — 3) considerees sera done de la forme
° =A*ll
9„3, ^b-s etant des polynomes de degre n — 3 en ^cn ,z2, xs ct (3,, (3? des constant.es arbitraires.
On verrait aisement, en appliquant la methode du n° 80, que l'enveloppe de ces courbes touche S en 4 (0 — k{ — 1 ) points.
86. On peut donner des resultats analogues pour les courbes de degre superieur a n — 3; mais nous n'insislerons pas sur ce point, car nous aborderons plus loin une theorie plus generale que celle des points conjugues.
