VI. — Application aux courbes du cinquieme degre

87. I. La courbe H, enveloppe des droites joignant deux points conjugues dans un systeme s, sur une courbe S du cinquieme degre, el de genre un, est une courbe unicursale, de quatrieme degre, de troisieme classe, ayanl une tangente double.

La courbe H touche S en sept points.

II. Le conjugue liarmonique, par rapport a deux points conjugues dans un systeme s, du point oil la droite qui les joint coupe une droite fixe quelconque, decrit une courbe unicursale du cinquieme degre.

Si la droite fixe est la tangente double de la courbe II correspondant au systeme s, le lieu precedent devient une courbe unicursale du troisieme degre.

Dans le cas ou j a 1'une des yingt-cinq valeurs donnees par la

SUIt LES COUR1SES DE GENKE UN. 1 43

formula

la valeur o, par exemple, la tangente double de la courbe II correspondante coupe S en deux couples de points conjugues dans le systeme o, et en un cinquieme point dont ['argument est - (co + 5co') (n° 43 bis). II resulte de la {Rem, III du n° 83) le theoremc suivant :

Le conjugue harmonique, par rapport a deux points de S, conjugues dans un systeme i(/rw -h 5 //to'), du point oil la droite qui les joint coupe la tangente double de la courbe H correspondant au systeme, decrit line conique.

III. Les coniques G qui coupent S en cinq couples de points conjugues dans Vun des vingt-cinq systemes 4- 5/.'w') forment un faisceau

Soit le systeme o, par exemple.

La tangente double de la courbe H correspondant au systeme considere coupe S, comme on l'a dit, en deux couples de points conjugues dans le systeme o, et au point d'argument - (co 4- 5co'), qui est a lui-

meme son conjugue dans ce systeme. Cette droite, comptee deux fois, est done unc des coniques G du faisceau qui correspond au systeme o, et, par suite :

Les coniques G d'un memo systeme louchent deux droites en deux points fixes, situes sur la tangente double de la courbe H correspondante.

On peut deduire de la plusieurs consequences que nous ne ferons qu'enoncer, et, pour simplifier le langage, nous admettrons que les deux points fixes dont il vient d'etre question sont les points cycliques du plan.

Le milieu du segment forme par deux points conjugues dajis le systeme o [ou Vun des systemes ^ (/rw + 5/.'co')J est une conique K.

Tons les cercles ayant pour cen tre un certain point fixe A coupent S en dix points conjugues deux a deux dans ce systeme.

Le point A est silue sur la conique K.

La conique K est la podaire, par rapport au point A, de la courbe H, enveloppe des droites qui joignent deux points conjugues dans le systeme consider e.

IV. Si s est la somme des deux arguments et et e\, correspondant a Vun des cinq points doubles E, de S, I enveloppe des droites qui joignent deux points de S, conjugues dans ce systeme, est une conique tangente aSen cinq points.

La somme des arguments de ces cinq points est - (w -+- 5 a>') ; par suite, ces cinq points sont situes avec les cinq points doubles de S sur une cubique.

Or on a vu (n° 67) qu'il n'existe que cinq coniques tangentes a S en cinq points situes avec les points doubles sur une cubique; soit C, l'une de ces coniques; il resulte de ce qui precede que :

Les tangentes de C, joignent sur S deux points conjugues dans le systeme Ci -t- e'n et la tangente en Et a la conique qui passe par les cinq points doubles de S est une tangente de Ct- (n° 77).

On peut enoncer autrement ces resultats :

Soit S une courbe du cinquieme ordre a cinq points doubles, a, b, c,d,e; les coniques qui passent par quatre de ces points a, b, c, d coupent S en deux points mobiles : la droite qui joint ces points enveloppe une conique qui est tangente a S en cinq points, situes avec a, b, c, d, e sur une meme cubique, et qui louche la tangente menee au point e a la conique des points a, b, c, d, e.